用一个关于嵌套闭区间系的引理证明闭区间上的点的集合的不可数性

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 11:31:20

用一个关于嵌套闭区间系的引理证明闭区间上的点的集合的不可数性
引理：设M是嵌套闭区间系.那么存在这样的数x,使得对于任意的△∈M都有x∈△.
书上说用这个引理可以证明闭区间上的点的集合的不可数性：
假设所有的点都数出来了.把闭区间分为三部分.那么具有号码1的点不属于这三个闭区间之一.把它再分成三部分.具有号码2的点不属于所得的三个闭区间之一,依此类推.根据引理存在点x同时属于所有的闭区间,但这个点没有被编号.
这个思路我看不懂（比如,这里面的嵌套闭区间系是指哪个?）,
附：定义：称非空集合M是嵌套闭区间系,如果M的元素是闭区间,且对于任意的△1,△2∈M,条件△1属于△2和△2属于△1之中总有一个成立,也就是说一个闭区间的一切点都属于另一个闭区间.

这里面的嵌套闭区间系是指哪个?
把闭区间△=[a,b]=[a,a+d]分为三部分:[a,a+d/3],[a+d/3,a+2d/3],[a+2d/3,a+d],具有号码1的点不属于这三个闭区间之一(如果不属于其中2个,可以从中任选1个),就把号码1的点不属于的这个闭区间记做△1=[a1,b1].
把△1分为三部分,把号码2的点不属于的这个闭区间记做
△2=[a2,b2].△2包含于△1.
如此等等,得到嵌套闭区间系:M={△1,△2,...,△n,...}
△1包含△2包含...包含△n.
点1不属于△1,点2不属于△2,...,点n不属于△n,...
由引理,有x属于所有△n,这个x不是点1,不是点2,...,不是点n,.,x没有被编号,这与假设闭区间的所有的点都被编了号相矛盾.

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