f(x+y)=f(x)f(y),如果函数是连续的,证明f(x)是指数函数

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 08:44:58

∵f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]²≥0
∴lnf(x+y)=lnf(x)+lnf(f)
令g(x)=lnf(x)
∵f(x)连续
∴g(x)连续
且g(x+y)=g(x)+g(y)
由柯西定理g(x)=xg(1)
∴lnf(x)=xlnf(1)
∴f(x)=e^[x*lnf(1)]=e^[lnf(1)^x]=[f(x)]^x
令f(1)=a>0
则f(x)=a^x
∴f(x)是指数函数
再问：实在没有看懂，你有十足的把握作对吗，是的话我经采纳了
再答：我是从自主招生考试书上抄来的，绝对没问题的但你这里差一个条件，有点不严密。就是f(x)恒不为零，从而推得f(x)>0 才能取对数。

f(x+y)=f(x)f(y),证f(x)是是以e为底的指数函数?如何证明 f(x+y)=f(x)f(y),证f(x)是指数函数若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛? 如果函数f(x)的定义域为(0,+∞)且在(0,+∞)上是增函数,f(xy)=f(x)+f(y).证明f(x/y)=f( f(x)是定义域在正实数的递增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),求证：f(x/y)=f(x)+f(y) 若定义域为R函数f(x)满足f(x+y)=2*f(x)*f(y),且f(0)不等于0,证明f（x）是偶函数 f(x)是定义在上的函数,对于任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时f(x)>1,证明f(x) 已知函数f(x)是定义在(0,正无穷)的增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),1、证明f(x/y)=f(x)-f(y 设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)在所有的点x0处连续 f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x/y)=f(x)-f(y) f(x)是定义于R上的函数,满足两个条件f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y).) f(x)是定义于R上的函数,满足两个条件f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)...