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f(x+y)=f(x)f(y),证f(x)是指数函数

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 15:44:20
f(x+y)=f(x)f(y),证f(x)是指数函数
证明:若f(x)是非零连续函数,且满足f(x+y)=f(x)*f(y),则f(x)是指数函数.
当x=0时,f(0+y)=f(0)*f(y),
因为f(x)是非零的连续函数,所以f(0)=1
当x=y时,f(2y)=f(y)的平方
当x=2y时,f(3y)=f(y)的3次方
...
所以 f(ny)=f(y)的n次方——(式1)
设f(1)=a ,有a不等于0
令y=1,代入式1,可得
f(n)=f(1)的n次方=a的n次方
即f(x)=a的x次方