复数域上的矩阵AB-BA=A,求证A仅有零特征值

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/02 00:16:28

由AB-BA = A有AB = BA+A = (B+E)A.
进而有AB² = (B+E)AB = (B+E)²A,AB³ = (B+E)³A,.,AB^k = (B+E)^k·A.
一般的,对任意多项式f(x),可得Af(B) = f(B+E)A.
进一步可得:A²f(B) = Af(B+E)A = f(B+2E)A²,A³f(B) = f(B+3E)A³,...,A^k·f(B) = f(B+kE)A^k.
如果存在多项式f(x)与正整数k使f(B) = 0,而f(B+kE)可逆.
那么由f(B+kE)A^k = A^k·f(B) = 0,可得A^k = 0,即A是幂零矩阵.
而幂零矩阵仅有零特征值 (若λ为A的特征值,则λ^k为A^k的特征值,由A^k = 0有λ = 0),即得结论.
于是只需找到满足条件的多项式f(x)和正整数k.
由Hamilton-Cayley定理,当f(x)为B的特征多项式,有f(B) = 0.
设B的特征值,也即f(x)的n个根(计重数)为λ1,λ2,...,λn.
易见存在正整数k,使λ1+k,λ2+k,...,λn+k都不是f(x)的根.
于是f(B+kE)的特征值f(λ1+k),f(λ2+k),...,f(λn+k)都不为0,即f(B+kE)可逆.
这样所取的f(x)与k满足要求.
注:最后这里用到结论:
若B的特征值为λ1,λ2,...,λn,f(x)是任意多项式,则f(B)的特征值为f(λ1),f(λ2),...,f(λn).
由B相似于上三角矩阵(如Jordan标准型),可以只对上三角矩阵证明,而对上三角矩阵是显然的.

设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的特征值都是B的特征值设A,B 分别是m*n,n*m矩阵,证明：AB和BA有相同的非零特征值. |A|=0,A为n阶矩阵,求证：存在非零方阵B,使得AB=BA=0 一道线性代数题已知A,B是两个n阶复矩阵,且AB=BA,求证：A,B在复数域内有共同的特征向量设三阶矩阵A的特征值为2 1 0 非零矩阵B满足BA=0则r(B)= 设矩阵A,B属于复数域上的n维矩阵,A,B可交换,即AB=BA,证明A的特征子空间一定是B的不变子空间 A,B是n阶方阵,求证：AB 与 BA有相同的特征值. A,B为正定矩阵,证：AB的特征值全部大于零. 设A.B都是n级矩阵,且A+B=AB,求证：AB=BA A为m*n矩阵,λ为（0 A,A^T 0）的非零特征值,求证λ^2为A^TA的特征值设A,B都是N阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA有相同的特征值高数对称矩阵求证：若A,B是对称矩阵,则AB是对称矩阵的冲要条件是AB=BA