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已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点An(an,f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点,曲线C在点An(an

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 18:56:12
已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点A
(1)求导函数可得f′(x)=
1
x,则曲线C在点An(an,f(an))处的切线方程为y-lnan=
1
an(x-an
令x=0,则y-lnan=-1,∴bn=lnan-1
∴bn+1-bn=lnan+1-1-lnan+1=2

an+1
an=e2
∵f(a1)=3,
∴ln(a1)=3,
∴a1=e3
∴an=e2n+1
∴bn=lnan-1=2n;
(2)Sn=
1
2×bn×an=n×e2n+1
∴Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1
∴e2Tn=1×e5+2×e7+…+(n-1)×e2n+1+n×e2n+3
①-②可得Tn-e2Tn=1×e3+1×e5+…+1×e2n+1-n×e2n+3
∴Tn=
e3−e3+2n
(1−e2)2−
n×e2n+3
1−e2