一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n（n≥4）个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/01 20:24:39

一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n（n≥4）个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f（i，j）．
（1）若数表中第i （1≤i≤n-3）行的数依次成等差数列，
求证：第i+1行的数也依次成等差数列；
（2）已知f（1，j）=4j，求f（i，1）关于i的表达式；
（3）在（2）的条件下，若f（i，1）=（i+1）（a_i-1），b_i=

（1）数表中第i+1行的数依次所组成数列的通项为f（i+1，j），
则由题意可得f（i+1，j+1）-f（i+1，j）
=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]
=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d为第i行数所组成的数列的公差）（4分）

（2）∵f（1，j）=4j
∴第一行的数依次成等差数列，
由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推，
可知数表中任一行的数（不少于3个）都依次成等差数列．
设第i行的数公差为d_i，则d_i+1=2d_i，则d_i=d₁×2^i-1=4×2^i-1=2ⁱ⁺¹
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2ⁱ=2[2f（i-2，1）+2^i-1]+2ⁱ=2²f（i-2，1）+2×2ⁱ=2^i-1f（1，1）+（i-1）×2ⁱ=2^i-1×4+（i-1）×2ⁱ=2ⁱ⁺¹+（i-1）×2ⁱ=（i+1）×2ⁱ（10分）

（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得ai＝
f(i，1)
i+1+1＝2i+1
所以bi＝
1
aiai+1=
1
(2i+1)(2i+1+1)=
1
2i(
1
2i+1−
1
2i+1+1)
令g（i）=2ⁱ，则big(i)＝
1
2i+1−
1
2i+1+1，所以Sn＝
1
3−
1
2n+1+1＜
1
3
要使得S_n＞m，即
1
3−
1
2n+1+1＞m，只要
1
2n+1+1＜
1
3−m=
1−3m
3，
∵m∈(
1
3，
1
4)，∴0＜1−3m＜
1
4，所以只要2n+1+1＞
3
1−3m，
即只要n＞log2(
3

一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n（n≥4）个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行（本小题满分16分）一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上给定正整数n（n≥2）按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方三角形数表第一行依次写上1,2,3,……,n.在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和,得到上面一行的数（比如图，是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下一个数表是如下（表中下一行中数的个数是上一行的个数的2倍）:第一行 1 第二行一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：将数列｛an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成如下数表将数列｛an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排列成如下数表：将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表由一些正整数组成的数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍):