已知α∈(0，π2)，x∈R，函数f（x）=sin2（x+α）+sin2（x-α）-sin2x．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 00:17:21

已知α∈(0，

)

解法一：（1）定义域是x∈R，
∵f（-x）=sin²（-x-α）+sin²（-x+α）-sin²（-x）=sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）∵f(x)＝f(
π
2−x)，∴sin²（x+α）+sin²（x-α）-sin²x=cos²（x-α）+cos²（x+α）-cos²x，
移项得：cos（2x-2α）+cos（2x+2α）-cos2x=0，
展开得：cos2x（2cos2α-1）=0，
对于任意实数x上式恒成立，只有cos2α＝
1
2．
∵0＜2α＜π，∴α＝
π
6．
解法二：f(x)＝
1−cos(2x+2α)
2+
1−cos(2x−2α)
2−
1−cos2x
2=
1−cos2x(2cos2α−1)
2．
（1）定义域是x∈R，
∵f(−x)＝
1−cos(−2x)(2cos2α−1)
2＝
1−cos2x(2cos2α−1)
2＝f(x)，
∴该函数在定义域内是偶函数．
（2）由f(x)＝f(
π
2−x)恒成立，
∴
1−cos2x(2cos2α−1)
2＝
1−cos2(
π
2−x)(2cos2α−1)
2，
∴
1−cos2x(2cos2α−1)
2＝
1+cos2x(2cos2α−1)
2，
化简可得：cos2x（2cos2α-1）=0对于任意实数x上式恒成立，
只有cos2α＝
1
2，
∵0＜2α＜π，∴α＝
π
6．

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