抽象函数的证明问题f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,已知f(1)=1,求证

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 10:33:31

抽象函数的证明问题
f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,已知f(1)=1,求证:f(-x)=f(x)
望大侠们赐教,不胜感激!
第一条回答不正确,不过还是要感谢你的回答!
第二条回答还有没有更简单一点的方法呢?谢谢!

证明：用柯西法
对自然数n用归纳法可证f(nx)=nf(x)+n(n-1)x^2
令x=1得f(n)=n+n(n-1)=n^2,n∈N
令x=1/m(m∈N)得f(n/m)=nf(1/m)+n(n-1)/m^2=n/m^2+(n^2-n)/m^2=(n/m)^2
所以f(x)=x^2,x∈Q+
在f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy中令x=y=0得f(0)=0
令y=-x得f(x)+f(-x)=2x^2
设x0,所以f(x)=2x^2-f(-x)=2x^2-(-x)^2=x^2,这就证明了f(x)=x^2,x∈Q
又lim(y→0）[f(x+y)-f(x)]=lim(y→0)[f(y)+2xy]=f(0)=0
所以f(x)在R上连续
因此f(x)=x^2对x∈R成立
所以f(x)为偶函数

定义域为R的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1,证明函数f(x) 设函数f(x)定义域为R,且满足f(xy)=f(x)+f(y),求f(0)与f(1)的值设函数f(x)定义域为R,且满足f(xy)=f(x)+f(y),则f(1/x)+f(x)=______ 函数f(x)定义域R且为增函数,f(xy)=f(x）+f(y）证明f（x/y)=f(x)-f(y) 已知函数f x 的定义域为 (0.正无穷)且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是减函数已知函数f(x)是定义域在R+上的减函数且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(根号2）=1 若定义域为R函数f(x)满足f(x+y)=2*f(x)*f(y),且f(0)不等于0,证明f（x）是偶函数已知定义域为R+,值域为R的函数f（x）,对于任意x,y属于R+总有f（xy）=f(x)+f(y),当x>1,恒有f（x 1、设函数f(x)的定义域为R+,f(xy)=f(x)+f(y)且f(8)=3,求f(根号2) 已知函数f(x)在其定义域R上为增函数,且有f(2)=1,f（xy）=f（x）+f（y）抽象函数难已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(-1/2)=0 已知函数F(X)在定义域R上为增函数,且满足 F(XY)=F(X)+F(Y),F(3)=1,F(A)>-F(A-1)+2