A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 14:39:20

A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关
A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关

设A的n个特征值为λ[1],λ[2],...,λ[n].
v[1],v[2],...,v[n]为相应的特征向量,即有Av[i] = λ[i]v[i].
取a = v[1]+v[2]+...+v[n],以下证明a,Aa,...A^(n-1)a线性无关.
由v[1],v[2],...,v[n]是属于不同特征值的特征向量,它们线性无关.
于是对依次以v[1],v[2],...,v[n]为列向量的矩阵B,有B可逆.
注意到A^k·a = λ[1]^k·v[1]+λ[2]^k·v[2]+...+λ[n]^k·v[n].
设n阶矩阵C = (λ[i]^j),则矩阵BC的列向量依次为a,Aa,...,A^(n-1)a.
要证明a,Aa,...A^(n-1)a线性无关,只需证明BC可逆.
已证B可逆,又C的行列式为Vandermonde行列式,由λ[i]两两不等知|C| ≠ 0,C可逆.
因此BC可逆,a,Aa,...A^(n-1)a线性无关.

设A为n×s矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的B,使得P=（A,B)可逆,且对于n阶复矩阵B,若B最小多项式和特征多项式相等,证明：存在向量a,使得a,Ba,……B^(n-1)a线性无关,呵呵证明：若n阶矩阵A的列向量线性无关,则A^2的列向量也线性无关. 证明:若n阶矩阵A的列向量线性无关,则A^2的列向量也线性无关. A为三阶方阵a为三维列向量 a,Aa,A的平方a线性无关,A立方a=5Aa-3A平方a,求证矩阵【a,Aa,A四次方a】线性代数的题目设A为n×m矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的矩阵B（下标n（n-m）一个n级矩阵A的行(或列)向量组线性无关,则A的秩为?> 设A为n阶矩阵,a为n维列向量,若Aa≠0,但A²a=0,证明:向量组a,Aa线性无关证明向量组线性无关设A是n阶方针,若存在n维列向量a和正整数k,使得A^k*a=0,A^(k-1)*a!=0,证明：向量 A为5*6矩阵,则矩阵AT*A的列向量组线性相关还是无关? α为n维列向量,A为m*n矩阵,α1,α2.αs线性无关,A的秩为n,那么（Aα1,Aα2.Aαs）无关吗 A是m*n阶矩阵,B是n*s阶矩阵,B的列向量线性无关,若A的列向量线性无关,求证AB的列向量线性无关.