求解微分方程t为自变量,x、y为t的函数,当t=0时,x=y=x'=y'=0,其中x'表示x对t求一次导数,即dx/dt

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 02:06:25

求解微分方程
t为自变量,x、y为t的函数,当t=0时,x=y=x'=y'=0,其中x'表示x对t求一次导数,即dx/dt.在上述初始条件下,求解下面微分方程：
x''=F-k(x-y)
y''=k(x-y)
其中F和k均为大于0的常数.

∵x''=F-k(x-y).(1)
y''=k(x-y).(2)
∴x''+y''=F ==>x'+y'=Ft+C (C是积分常数)
∵当t=0时,x'=y'=0
∴C=0,即x'+y'=Ft ==>x+y=Ft²/2+C (C是积分常数)
∵当t=0时,x=y=0
∴C=0,即x+y=Ft²/2.(3)
∵由方程(3)*k-(2)得2ky=kFt²/2-y''
∴y''+2ky=kFt²/2.(4)
∵方程(4)是二阶常系数线性方程.由常系数线性方程理论
可求得它的通解是y=C1cos(√(2k)t)+C2sin(√(2k)t)+Ft²/4-F/(4k) (C1,C2是积分常数)
由当t=0时,y=y'=0.得C1=F/(4k),C2=0
∴y=Fcos(√(2k)t)/(4k)+Ft²/4-F/(4k)
把它代入(3)得x=Ft²/4-Fcos(√(2k)t)/(4k)+F/(4k)
故微分方程x''=F-k(x-y),y''=k(x-y)满足初始条件(当t=0时,x=y=x'=y'=0)
的解是：y=Fcos(√(2k)t)/(4k)+Ft²/4-F/(4k)
x=Ft²/4-Fcos(√(2k)t)/(4k)+F/(4k)

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