一个倒等边圆锥的容器中注满水,再放一个与底面、侧面都相切的且半径为R的球,然后再轻轻将球取出,求

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 08:29:19

一个倒等边圆锥的容器中注满水,再放一个与底面、侧面都相切的且半径为R的球,然后再轻轻将球取出,求
求此时水面的高度
帮帮忙吧，我只求出剩余水的体积，然后就卡着了，不知道该如何去求了

解
由于半径为R的球与圆锥与底面、侧面都相切
设等边圆锥的地面圆的直径和母线的长均为2a（圆锥的地面半径为a）
圆锥正切面（过地面直径和顶点的切面）的三角形为等边三角形
且等边三角形的各边长为2R,各个角均为60°
则圆锥的高为h=√3a
圆锥的体积为V1=（1/3）πa²（√3a）=（√3/3）πa³
由于半径为R的球与圆锥与底面、侧面都相切
所以R就是等边三角形的内切圆
所以R=(1/3)h=(√3/3)a
a=√3R
所以球的体积V2=(4/3)πR³=(4/3)π[ (√3/3)a]³= （4√3/27）πa³
所以剩余水的体积V3=V1-V2=（√3/3）πa³-（4√3/27）πa³
=（5√3/27）πa³=（5√3/27）π(√3R)³=5 R³/3
设剩余水的高度为x
则剩余水圆锥的地面半径r=(√3/3)x （解顶角为60°的等腰△）
剩余水的体积V3=（1/3）π[(√3/3)x ]²x=（1/9）πx³
V3=V3
即（1/9）πx³=5 R³/3
解得x=15^（1/3）R——15开立方乘以R
即水面的高度为15^（1/3）R=2.47R

有一轴截面为正三角形的圆锥容器内放一个半径为r的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器里放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，在轴截面为等边三角形的圆锥里刚好放入一个小球(球面与圆锥底面相切)求这个球的体积(底面圆锥半径为r) 把一个圆锥形铁锥放在一个底面半径是6厘米的圆柱形容器中,然后将圆柱形容器装满水,当圆锥取出后,容器中水面下降3厘米,求圆 6.一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将从圆锥有一个轴截面为正三角形的圆锥形容器,内放如一个半径为R的内切球,在这个容器内注入水,现把球从容器中取出,水不损耗,且球取一个倒立圆锥型容器,他的轴截面是正三角形,在这容器内注入水并且放入一个半径为R的铁球,这是水面恰好与球面相切,问将球取出关于立体几何.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放着一个半径为R的铁球,并注入水,使睡眠与球正好相切表面积为144π的球内切于一个圆台（即球与圆台的上、下底面和侧面都相切），如果圆台的下底面与上底面的半径之差为5，求圆台求文档:已知圆台上,下底面及侧面都与一个球相切,上下底面的半径比是1:4,圆台体积与球正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切求球的半径R和棱锥表面积一个高为H,底面半径为R的直立圆桶,桶内注满水,求圆桶侧面所受到的水压力