线性代数,求一个齐次方程组基础解系,2X1+X2+2X3=0 他的自由变量选取是任意的吗?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 04:20:32

2x1+x2+2x3=0,
其自由变量可任取,例如取 x2,x3 为自由未知量,得
2x1=-x2-2x3
取 x2=-2,x3=0,得基础解系 (1,-2,0)^T;
取 x2=0,x3=-1,得基础解系 (1,0,-1)^T.
则方程的通解是
x= k1 (1,-2,0)^T+k2 (1,0,-1)^T,
其中 k1,k2 为任意常数.
有的就不能随意取,例如方程组
2x1+3x2+2x3=0,
x3=0
第2个方程已确定 x3=0,x3就不再是自由未知量,
只能取 x1 或 x2 为自由未知量.
例如取 x2 为自由未知量,则
2x1=-3x2,
x3=0,
取 x2=-2,得基础解系 (3,-2,0)^T,
则方程组的通解是
x= k (3,-2,0)^T,
其中 k 为任意常数.
再问：如果我选x1和x3答案总是不对
再答：可以啊！
不要以为基础解系与前面解的或书上答案不同就是错误，
取不同的 k1，k2 总能化为一样的。

2x1+x2+2x3=0,
取 x1，x3 为自由未知量，得
x2=-2x2-2x3
取 x1=1, x3=0, 得基础解系 (1，-2, 0)^T;
取 x1=0, x3=1, 得基础解系 (0，-2, 1)^T.
则方程的通解是
x= c1 (1，-2, 0)^T+c2 (0，-2, 1)^T,
其中 c1, c2 为任意常数。
取 c1=k1+k2, c2=-k2 就会化为前面解的结果。

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