已知x1,x2,x3均为正数,且x1+x2+x3=1,求证x1^2\(x1+x2)+x2^2\(x2+x3)+x3^2\

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 16:11:43

已知x1,x2,x3均为正数,且x1+x2+x3=1,求证x1^2\(x1+x2)+x2^2\(x2+x3)+x3^2\(x1+x3)≥1\2

柯西不等式
[x1^2\(x1+x2)+x2^2\(x2+x3)+x3^2\(x1+x3)]
*[(x1+x2)+(x2+x3)+(x1+x3)]
>=[根号(x1^2\(x1+x2)*(x1+x2))+根号(x2^2\(x2+x3)*(x2+x3))+根号(x3^2\(x3+x1)*(x3+x1))]^2
=[x1+x2+x3]^2=1
而(x1+x2)+(x2+x3)+(x1+x3)=2(x1+x2+x3)=2
所以
x1^2\(x1+x2)+x2^2\(x2+x3)+x3^2\(x1+x3)≥1\2
等号成立时,
x1^2\(x1+x2)\(x1+x2)=x2^2\(x2+x3)\(x2+x3)=x3^2\(x3+x1)\(x3+x1)
可得x1=x2=x3=1/3

已知x1,x2,x3∈（0,+∞）,且x1+x2+x3=1.求证x1^2/(x1+x2)+x2^2/(x2+x3)+x3 已知y=4.26X1-2(X2+X3+X4) 且X2>X1 X3>X1 X4>X1 X1+X2+X3+X4=M 求M最小已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3 X1+2X2-X3+X4=1 已知X1*X2*X3*…*Xn=1,且X1*X2*X3*…*Xn是正数 ,求证已知x1x2x3x4=1,且x1,x2,x3,x4都是正数,求证（1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)≥2^4 设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+ 已知,x1.x2.x3.…xn=1(相乘),且x1,x2,x3,x4…xn都是正数,求证（1+x1)(1+x2)……(1 求线性方程组 x2-x3-x4=0 x1+x2-x3+3x4=1 x1-x2+x3+5x4=-1 x1+2x2-2x3+ X1≥X2≥X3≥X4≥2,且X2+X3+X4≥X1,求证（X1+X2+X3+X4）²≤4•X1& 解方程组X1+X2+X3=0,2X2-X3=1,X1-X2+2X3=-1. ｛2X1-X2+3X3=3