在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2根号3,M.N为AB的中点.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 17:07:32

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2根号3,M.N为AB的中点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小；
（3）求点B到平面SCM的距离.

本题若想利用向量的方法解答,首先要先建立适当的直角坐标系,而所给的图形没有现成的垂直关系,但考虑到正三角形自身的对称性,不妨取AC中点O,连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明AC⊥SB,只须证明 • =0,由已知不难推得证明：
（Ⅰ）A（2,0,0）,B（0,2 ,0）,C（-2,0,0）,S（0,0,2倍根号2）,M(1,根号3,0),N(0,根号3 根号2,).∴向量AC =（-4,0,0）,向量SB =（0,2 ,2 ）,则向量AC• 向量SB=（-4,0,0）•（0,2 ,2 ）=0由此命题得证证明：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得向量CM=（3,根号3 ,0）,向量MN=（-1,0,根号2）.设向量n =（x,y,z）为平面CMN的一个法向量,有：向量CM•向量n =3x+根号3 y=0,向量MN• 向量n=-x+根号2 z=0,取z=1,则x= 根号2,y=-根号6 ,∴向量n =(根号2 ,-根号6 ,1),又向量OS=(0,0,2根号2 )为平面ABC的一个法向量,∴cos( 向量n,向量OS )= 三分之一 .∴二面角N-CM-B的大小为arccos 三分之一
(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）得向量MB=（-1,√3,0）.向量n =(√2 ,-√6 ,1)为平面CMN的一个法向量,
∴点B到平面CMN的距离d=｜向量MB*向量n｜/｜向量n｜=4√2/3