数学抛物线题.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x-1交x轴交于点A,横坐标为2m（m＞1）m是常数的点B在此直线上,过

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 08:45:44

数学抛物线题.
在平面直角坐标系xOy中,直线y=x-1交x轴交于点A,横坐标为2m（m＞1）m是常数的点B在此直线上,过点B作y轴的垂线,点C为垂足,交于经过A、B、C三点的抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的顶点为M.
（1）求a的值.
（2）点P是线段AB上一动点（不与A,B重合）过点P作x轴的垂线交上述抛物线于点F,交BC于点E,交x轴于点D,过点M作直线PF的垂线,垂足为G.求证：当线段PF最长时,点P是DE的中点,并求此时△GFM的值.

（1）A（1,0）,B（2m,2m-1）,C（0,2m-1）.
　　　　将三点分别代入抛物线方程,a+b+c=0,4m²a+2mb+c=2m-1,c=2m-1.
　　　　解得a=1.
　　（2）由（1）得b=-2m,c=2m-1.
　　　　设P（x,x-1）（1≤x≤2m）,则F点纵坐标y＝x²-2mx+2m-1
　　　　PF＝(x-1)-y＝-x²+(2m+1)x-2m.当PF最长时,x=(2m+1)/2,P点纵坐标y＝x-1＝(2m-1)/2
　　　　D点纵坐标y＝0,E点纵坐标y＝2m-1,所以P点是DE的中点.
　　　　M点坐标（m,-m²+2m-1）,G点坐标（(2m+1)/2,-m²+2m-1）.
　　　　GM＝(2m+1)/2-m＝1/2,GF＝y-(-m²+2m-1)＝1/4,
　　　　△GFM的面积为S＝GM×GF/2＝1/16.