作业帮函数(函数的单调性)
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 16:18:51
设f(x)是R上的增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x) 1)求证：F(x)是R上的增函数 2）若F(x1)+F(x2)>0 求证：x1+x2>2 要详细的解答过程，老师，谢谢
解题思路： 可利用定义法
解题过程：
1.证明：
设x1＜x2，且x1,x2∈R
所以
F(x2)-F(x1)
= f(x2) - f(2-x2) - f(x1)+ f(2-x1)
= f(x2) - f(x1) + f(2-x1)- f(2-x2)
因为x1＜x2 , 所以2-x1＞2-x2
又因为f(x)在定义域上是增函数
所以f(x2) - f(x1)＞0 ，f(2-x1)- f(2-x2)＞0
所以f(x2) - f(x1) + f(2-x1)- f(2-x2)＞0
即F(x2)-F(x1)＞0
所以F(x2)＞F(x1)
所以F(x)为R上的增函数
2.
F(x1)+F(x2)
= f(x1)+ f(x2)- f(2-x1)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)- f(2-x1)＞0
f(x2)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)＞f(2-x1) f(x2)＞f(2-x2)
因为f(x)为增函数
所以x1＞ 2-x1 x2＞ 2-x2
所以x1＞1 x2＞1
所以x1+x2 > 2
最终答案：略
解题过程：
1.证明：
设x1＜x2，且x1,x2∈R
所以
F(x2)-F(x1)
= f(x2) - f(2-x2) - f(x1)+ f(2-x1)
= f(x2) - f(x1) + f(2-x1)- f(2-x2)
因为x1＜x2 , 所以2-x1＞2-x2
又因为f(x)在定义域上是增函数
所以f(x2) - f(x1)＞0 ，f(2-x1)- f(2-x2)＞0
所以f(x2) - f(x1) + f(2-x1)- f(2-x2)＞0
即F(x2)-F(x1)＞0
所以F(x2)＞F(x1)
所以F(x)为R上的增函数
2.
F(x1)+F(x2)
= f(x1)+ f(x2)- f(2-x1)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)- f(2-x1)＞0
f(x2)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)＞f(2-x1) f(x2)＞f(2-x2)
因为f(x)为增函数
所以x1＞ 2-x1 x2＞ 2-x2
所以x1＞1 x2＞1
所以x1+x2 > 2
最终答案：略