(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 08:49:26

证明:分两步
(1) ABX=0 与 BX=0 同解
显然,BX=0 的解都是 ABX=0 的解
所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.
由已知 r(B)=r(AB)
所以两个基础解系所含向量个数相同
故两个基础解系等价
[若两个向量组的秩相同,且其中一个可由另一个线性表示,则两个向量组等价]
所以ABX=0的解也是BX=0的解
即两个齐次线性方程组同解.
(2) ABCX=0 与 BCX=0 同解
显然有:BCX=0 的解都是 ABCX=0 的解
反之,设X1是ABCX=0的解
则 ABCX1=0.
即 AB(CX1)=0.CX1是ABX=0的解
由(1)知CX1也是BX=0的解
即有 BCX1=0
所以X1也是BCX=0的解
所以 (2)成立.
[同解齐次方程组的系数矩阵的秩相同]
故 r(ABC)=r(BC).
再问：谢谢！还问你一个题目，证明：闭区间上连续函数的零点构成闭集。谢谢！做出来给你加分！
再答：数学分析都忘光了线性代数找我吧
再问：能加你为好友吗？我是一个很想学好数学的学生，跪求！谢谢！
再答：直接Hi我吧我很少开qq

(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC). （线性代数）设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)>=r(A)+r(B)-n 设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明：设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC 设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明：存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0 设A、B都是n阶矩阵,且AB=O,证明R(A)+R(B) ABC均为n阶矩阵,AB=0,AC+C=0,r（C)+r（B）=n,证明A相似于对角阵设A为n阶方阵,B为N×S矩阵,且r(B)=n.证明若AB=0则A=0 问个线性代数题设A是m×n矩阵,R（A）＝r,证明存在秩为r的m×r矩阵B与秩为r的r×n矩阵C使A＝BC 设n阶矩阵a可逆,则对任意的n*m矩阵B,有R(AB)=R(B) 这个对不设A是m*n矩阵,B为n×s矩阵,r(A)=r＜n,且AB=0.证明：秩(B)≦n－r 设A使一m×n矩阵,B ,C 分别为m阶,n阶可逆矩阵,证明:r(BA)=r(A)=r(AC)