已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 02:50:31

已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?

这个很简单:
跟着我的思路来
第一你要知道关于求转置,有一个脱衣原则.即(AB)^T=(B^T)(A^T),语言描述是 AB的转置等于B的转置乘以A的转置,注意是从后往前脱衣,脱衣后B在前A在后.其中A,B两个矩阵可以不是方阵.
第二矩阵的乘法有结合律.即(AB)C=A(BC),这里的矩阵只要在规模上能相乘即可比如A是m行n列的矩阵则B一定是n行的,否则无法作矩阵乘法.
由脱衣原则和矩阵结合律,看本题:
a^T(A^TA)a=a^TA^TAa=(a^TA^T)(Aa)这里的加括号去括号用到的是矩阵的乘法,注意a也是一个n行1列的矩阵.再由脱衣原则a^TA^T=(Aa)^T,代入上式则a^T(A^TA)a=(Aa)^T(Aa).
好了马上出结论了
第三把Aa看成一个整体,由矩阵乘法知Aa是一个n维列向量.
a^T(A^TA)a=(Aa)^T(Aa).就是Aa的模的平方(这个高中的点乘\内积那的概念应该会吧)
然后向量的模一定是非负数,又R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,就能保证Aa不为0,故llAall^2>0
不会可以继续追问

已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么设a为n维列向量,且a∧Ta=1,矩阵A=E-aa∧T,证明A的行列式等于0 A是m*n矩阵则r(A)=r(A^TA) 怎么证明线性代数问题设a为n维列向量,且a∧Ta=1,矩阵A=E-2aa∧T,证明A是正交线性代数,已知A是2n+1阶矩阵正交矩阵,即AA^T=A^TA=E,证明E-A^2的行列式为零线性代数!设a为n维列向量,且a^Ta=1,令A=E-aa^T,其中E是n阶单位矩阵, 设n维行列式a=（1/2,0,.,0,1/2),矩阵A=I-a^T,B=I+2a^Ta,其中I为n阶单位向量,则AB=? 设A为n阶实矩阵,A^T为A转置矩阵,证明：R（A）=R(A^TA) 矩阵证明题：若n阶方阵满足AA^T=E,设a是n维列向量,a^Ta=/0矩阵A=E-3aa^T. 设n阶矩阵A正定,X是任意n维非零列向量.则R(A X ; X^T 0)= A为m*n矩阵,λ为（0 A,A^T 0）的非零特征值,求证λ^2为A^TA的特征值设A是m*n实矩阵,若R=（A^TA)=5,则R(A)=?