作业帮有时候我们遇到求函数图像对称中心的题,要用到二次求导,为什么当二次求导的导函数得0时,所对的函数值就是对称中心.怎样推导
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 06:09:31
有时候我们遇到求函数图像对称中心的题,要用到二次求导,为什么当二次求导的导函数得0时,所对的函数值就是对称中心.怎样推导的啊?
设f(x) 的对称中心为T（t,f(t)) ,即 f(t+x)+f(t-x)=2f(t)
则f(x)的 一阶导函数g(x) 有 g(t+x)-g(t-x)=0 对称轴 x=t ,即
取x=0 得 g(t)= g(-t) 故 g(t)=0
即f''(t) =0
连续函数有对称中心的 必要条件
不是充分条件
例：f(x)=2 * e^x - x ,(0 ,2 ) 不是 f(x)的对称中心
再问： 后边怎样证明的啊？能不能详细点，谢谢啦！
再答： 前面就是证明的 f''(t) =0 是连续可导f(x) 的对称中心为T（t,f(t)) 的必要条件 不是充分条件 反例： f(x)=2 * e^x - x^2 , (0 , 2 ) 不是 f(x)的对称中心 f'(x)=2 * e^x - 2x f''(x)=2 * e^x -2 f''(0) =0 f(0) =2 但是 h(x)=f(x)-2 =2 * e^x - x^2-2 不是奇函数 故（0,2）不是f(x) 的对称中心
再问： 你中间求出g(x)=0意思不就是说原函数的导函数值等于0时是对称中心吗？但是不对啊！还有就是我朋友说这个不好推，她们班老师给她们推过，但她忘了。所以我觉得你这个真的不对
再答： 是原函数（连续可导）关于点T（t,f(t)) 中心对称时，f‘（t）=0 ，反过来不成立！ 显然原函数关于点T（t,f(t)) 中心对称，则水平方向向左平移后t后，对称中心在x轴上，再向下平移f（t）后，对称中心为原点，也就是函数h(x) = f（x+t）-f（t）图像关于原点对称，即为奇函数， 所以h(-x)=-h(x) ,两边求导得h'(-x)*(-x)'=-h'(x) ,即 - h'(-x)*=-h'(x) , 即 h'(-x)*= h'(x) , （ 简单的说就是奇函数的导函数为偶函数）（不是f' (x)=0) ；h'(x)函数图像关于y轴对称，就是原函数的导函数关于直线图像关于直线 x=t 对称（平移回来）。
则f(x)的 一阶导函数g(x) 有 g(t+x)-g(t-x)=0 对称轴 x=t ,即
取x=0 得 g(t)= g(-t) 故 g(t)=0
即f''(t) =0
连续函数有对称中心的 必要条件
不是充分条件
例：f(x)=2 * e^x - x ,(0 ,2 ) 不是 f(x)的对称中心
再问： 后边怎样证明的啊？能不能详细点，谢谢啦！
再答： 前面就是证明的 f''(t) =0 是连续可导f(x) 的对称中心为T（t,f(t)) 的必要条件 不是充分条件 反例： f(x)=2 * e^x - x^2 , (0 , 2 ) 不是 f(x)的对称中心 f'(x)=2 * e^x - 2x f''(x)=2 * e^x -2 f''(0) =0 f(0) =2 但是 h(x)=f(x)-2 =2 * e^x - x^2-2 不是奇函数 故（0,2）不是f(x) 的对称中心
再问： 你中间求出g(x)=0意思不就是说原函数的导函数值等于0时是对称中心吗？但是不对啊！还有就是我朋友说这个不好推，她们班老师给她们推过，但她忘了。所以我觉得你这个真的不对
再答： 是原函数（连续可导）关于点T（t,f(t)) 中心对称时，f‘（t）=0 ，反过来不成立！ 显然原函数关于点T（t,f(t)) 中心对称，则水平方向向左平移后t后，对称中心在x轴上，再向下平移f（t）后，对称中心为原点，也就是函数h(x) = f（x+t）-f（t）图像关于原点对称，即为奇函数， 所以h(-x)=-h(x) ,两边求导得h'(-x)*(-x)'=-h'(x) ,即 - h'(-x)*=-h'(x) , 即 h'(-x)*= h'(x) , （ 简单的说就是奇函数的导函数为偶函数）（不是f' (x)=0) ；h'(x)函数图像关于y轴对称，就是原函数的导函数关于直线图像关于直线 x=t 对称（平移回来）。