如图,二次函数的图像经过点D(0,7/9根号3),且顶点C的横坐标为4,该图像在x轴上截得的线段AB长为6

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 00:40:03

如图,二次函数的图像经过点D(0,7/9根号3),且顶点C的横坐标为4,该图像在x轴上截得的线段AB长为6
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q,使△QAB∽△ABC?如果存在,求出点Q得坐标；如果不存在,请说明理由.

y=a*x^2+b*x+c(^2 表示平方)
（1）、
y=0时,x2-x1=6(AB长),AB中点为（4,0）（抛物线是轴对称,配方可得标准形式）,故x1=1,x2=7 b=-(x1+x2)=-8（二次方程根等于（-b+-根号delta）/2
将表达式配方,y=a*(x+b/2a)^2+c-b^2/2a,对称轴为x=-b/2a=4,a=-b/8=1
所以y=x^2-8*x+c 将D带入,x=0,y=7/9根号3=c
（2）由于是对称轴,也就是AB的垂直平分线,说明,上面任意一点P,
都有PA=PB,题目相当于求PD+PB最小,P即为BD线段与对称轴的交点.
直线PD的方程求出,横坐标为4,可以求得纵坐标,
或者用等比三角形,AB中点为N,BPN与BDO三角形相似,可以得到PN=（3/7）*（7/9根号3）=根号3/3
（3)不存在,若存在则三角形QAB也为等腰三角形,即QA=QB,说明Q在AB垂直平分线,即抛物线对称轴上,满足此条件的仅有C点.
实在不好意思,上次看的匆忙,此次重做.
（1）由图形知道,解析式为y=a(x-4)^2+c,a>0,表示为对称轴的形式,开口向上,a>0 ,由图形和AB=6,可知A=（1,0）,B=（7,0）
将点B、D带入（表达式的形式决定A、B是一样的）
0=9a+c
7*根号3/9=16a+c
两式子相减,7a=7*根号3/9,得到a=根号3/9
再有第一个式子,c=-根号3
（2）由于是对称轴,也就是AB的垂直平分线,说明,上面任意一点P,
都有PA=PB,题目相当于求PD+PB最小,P即为BD线段与对称轴的交点
用等比三角形,AB中点为N,BPN与BDO三角形相似,可以得到PN=（3/7）*（7/9*根号3）=根号3/3
（3）若△QAB∽△ABC则,△QAB为等腰三角形,QB=AB,且角QAB=角ACB,从图形上看,要存在,Q必在抛物线右半
从二知道c点纵坐标为 -根号3,AB中点为N直角三角形BNC中两条直角边分别为根号3和3,由三角函数知道,角NCB=60°,角NBC=30°,可以得到角ACB=120°,所以两个三角形相似则角ABQ=120°,BQ=6,所以Q的横坐标为7+3,纵坐标为根号3*3（QM垂直于横轴x,交横轴于M,直角三角形运算）,即Q=（10,根号3*3）带入前面算的y=根号3/9*(x-4)^2-根号3,是满足的,Q在抛物线上,为所求
这回应该对了,我这里网不太好,传图片有困难,但是用到的点都说明了,上次没看清题,特别是相似三角形顶点要对应,