已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线.A,B为两切点.那么(向量)PA×(向量)PB的最小值为多少?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 18:14:21

解题就是跟题目对话,跟命题人对话.这道题的命题意图主要考察向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考察最值的求法——判别式法,同时也考察学生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
【解析】图中第一步需要解释的有两点
第一点.向量公式：向量a·向量b=|a|•|b|•cos〈a,b〉(夹角）
第二点.PA=PB的原因：A,B为切点所以得到 ∠PAO ∠PBO为直角
△PAO △PBO 为直角三角形且全等（相同斜边相等的直角边）
或者切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
②三角形的余弦定理,例如三角形ABC中,A为内角,abc为对应的边,cosA=(b²+c²-a²)/2bc
③∵|PA|=|PB| ∴|PA|的平方可与分子PA•PB约去,分母为2PA²-AB²
④勾股定理：PA²=OP²-OA² ,OA=R=1
设直线AB与X轴的交点为M,有 AM²=OA²-OM²=1-d² ,AB=2AM
⑤化简④,再用均值不等式,公式：a²+b²≥2ab
⑥OA²=d•OP 射影定理
其实可以这样写,更加清楚
设PA=PB=X（x＞0）,∠APO=α,则∠APB=2α,有勾股定理得PO=根号（1+x^2）,
sinα=1/根号（1+x^2）,
向量PA·向量PB=|PA|·|PB|cos2α=x^2（1-sin^2α）={x^2（x^2-1）}/1+x^2=（x^4-x^2）/（1+x^2）,令向量PA·向量PB=y,则y==（x^4-x^2）/（1+x^2）,
即x^4-（1+y）x^2-y=0,由x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0,y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
故（向量PA·向量PB）min=-3+2√2
好啦.大功告陈

已知圆O半径是1,PA PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么向量PA*向量PB的最小值是多少? 已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线.A,B为两切点.那么(向量)PA×(向量)PB的最小值为多少?A,－4＋已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线.A,B为两切点.那么(向量)PA×(向量)PB的最小值为多少?谢已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线.A,B为两切点.那么(向量)PA×(向量)PB的最小值为多少? 已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么PA*PB的最小值为? 已知圆O的半径为1,PA PB为该圆的两条切线,A B为切点,那么“向量”PA点乘PB的最小值是多少呢? 已知圆O的半径为1,PA,PB为圆的两条切线,A,B为两切点,那么→PA* →PB最小值为? 两道不等式的题已知圆o的半径为1,PAPB为两条切线,AB为两切点,则PA向量点乘PB向量的最小值为（）已知0第二小题打如图,已知PA、PB是圆O的两条切线,A、B为切点, 已知圆o的半径为1pa,pb为圆的两条切线,a,b为切点(1)设∠apo=θ,用θ表示PA·PB(2)求PA·PB的范围已知曲线x^2=4y,P为直线y=-1上任意一点,PA,PB为该曲线的两条切线,A,B为切点,则向量PA*向量PB= 如图 PA、PB是圆O的两条切线切点分别为点A 、B,求证PA=PB