作业帮矩阵与其转置矩阵乘积所得到的矩阵的秩与该矩阵的秩有何关系
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/27 14:23:38
矩阵与其转置矩阵乘积所得到的矩阵的秩与该矩阵的秩有何关系
矩阵与其转置矩阵乘积所得到矩阵可逆的条件是什么?与原先矩阵的秩有关吗?
矩阵与其转置矩阵乘积所得到矩阵可逆的条件是什么?与原先矩阵的秩有关吗?
如果A是mxn的实矩阵,那么rank(AA^T)=rank(A^TA)=rank(A)
如果进一步有rank(A)=n（此时显然一定要有m>=n）,那么rank(A^TA)是n阶可逆阵
再问： 可以简要说明下为什么rank(AA^T)=rank(A^TA)=rank(A)吗？谢谢啊
再答： 如果你知道奇异值分解自然就明白了
如果不知道也没关系，(Ax)^T(Ax)=0，A^TAx=0，Ax=0三者是等价的，从后两者得到rank(A^TA)=rank(A)
如果进一步有rank(A)=n（此时显然一定要有m>=n）,那么rank(A^TA)是n阶可逆阵
再问： 可以简要说明下为什么rank(AA^T)=rank(A^TA)=rank(A)吗？谢谢啊
再答： 如果你知道奇异值分解自然就明白了
如果不知道也没关系，(Ax)^T(Ax)=0，A^TAx=0，Ax=0三者是等价的，从后两者得到rank(A^TA)=rank(A)