设xi∈R+(i=1,2,n),求证:x1^x1x2^x2,xn^xn≥(x1x2,xn)^1/n(x1+x2+,+xn

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 16:30:37

设xi∈R+(i=1,2,n),求证:x1^x1x2^x2,xn^xn≥(x1x2,xn)^1/n(x1+x2+,+xn)

取对数,原不等式等价于
x1lnx1+x2lnx2+...+xnlnxn≥(x1+x2+..+xn)(lnx1+lnx2+...+lnxn) / n
即n(x1lnx1+x2lnx2+...+xnlnxn)≥(x1+x2+...+xn)(lnx1+lnx2+..+lnxn) ...(1)
由对称性,不妨设x1≥x2≥...≥xn
则有lnx1≥lnx2≥...≥lnxn
由排序不等式,正序和≥乱序和≥倒序和
故(1)式左边为n个正序和,右边为1个正序和 1个倒序和和n-2个乱序和(展开即可)
固有(1)式成立.
所以原不等式成立.

设xi∈R+(i=1,2,n),求证:x1^x1x2^x2,xn^xn≥(x1x2,xn)^1/n(x1+x2+,+xn 用数学归纳法证明：xi>0 ,i=1,2,3…n若x1x2…xn=1,则x1+x2+…xn≥n 设x1.x2,.xn是正数,求证（x1+x2+……+xn)(1/x1 +1/x2 +……+1/xn )≥n^2关于柯西不设x1,x2,……,xn是正数,求证（x1+x2+……+xn)(1/x1 +1/x2 +……+1/xn )≥n^2用柯西已知xi∈R+,i=1,2,…,n 求证不等式n/(n+1)≥x1/(nx1+x2)+x2/(nx2+x3)+…+xn/ 设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+ 已知x1、x2、xn∈(0,+∞),求证:x1^2/x2+x2^2/x3+…+xn-1^2/xn+xn^2/x1≥x1+ 设有x1,x2……xn,满足x1+x2+……xn=0,x1x2……xn=n,证明 n可被4整除设有整数x1,x2,……xn,使x1+x2+……+xn=0,x1x2……xn=n,证明：4|n 设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证 x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+…… 已知数列{xn}满足x1=3,x2=x1/2,...,xn=1/2(xn-1+xn-2),n=3,4,...,则xn等于设x1,x2,...,xn>0,(1)若1,x1,x2,...,xn,2成等差数列,则x1+x2+...+xn=____