已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+cos2x+a,(1)求函数的最小正周期及单调
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/01 17:34:39
已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+cos2x+a,(1)求函数的最小正周期及单调
第一个问题:
f(x)=sin2xcos(π/6)+cos2xsin(π/6)+sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)-cos2x+a
=2sin2xcos(π/6)-cos2x+a=2[sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)]+a
=2sin(2x-π/6)+a.
∴函数f(x)的最小正周期为2π/2=π.
第二个问题:
∵f(x)=2sin(2x-π/6)+a.∴当 2kπ-π/2≦2π-π/6≦2kπ+π/2 时,f(x)单调递增.
由2kπ-π/2≦2x-π/6≦2kπ+π/2,得:2kπ-3π/6+π/6≦2x≦2kπ+3π/6+π/6,
∴2kπ-2π/6≦2x≦2kπ+4π/6,∴kπ-π/6≦x≦kπ+π/3.
即函数f(x)的单调增区间是[kπ-π/6,kπ+π/3],其中k为整数.
第三个问题:
∵0≦x≦π/2 ,∴0≦2x≦π,∴-π/6≦2x-π/6≦π-π/6,
∴f(x)的最小值为2sin(-π/6)+a=-1+a=-2,∴a=-1
f(x)=sin2xcos(π/6)+cos2xsin(π/6)+sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)-cos2x+a
=2sin2xcos(π/6)-cos2x+a=2[sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)]+a
=2sin(2x-π/6)+a.
∴函数f(x)的最小正周期为2π/2=π.
第二个问题:
∵f(x)=2sin(2x-π/6)+a.∴当 2kπ-π/2≦2π-π/6≦2kπ+π/2 时,f(x)单调递增.
由2kπ-π/2≦2x-π/6≦2kπ+π/2,得:2kπ-3π/6+π/6≦2x≦2kπ+3π/6+π/6,
∴2kπ-2π/6≦2x≦2kπ+4π/6,∴kπ-π/6≦x≦kπ+π/3.
即函数f(x)的单调增区间是[kπ-π/6,kπ+π/3],其中k为整数.
第三个问题:
∵0≦x≦π/2 ,∴0≦2x≦π,∴-π/6≦2x-π/6≦π-π/6,
∴f(x)的最小值为2sin(-π/6)+a=-1+a=-2,∴a=-1
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