证明n阶方阵A与其转置矩阵AT相似-搜答案-拍题作业网

请看图片证明:

x^T(AA^T)x=(A^Tx)^T(A^Tx)这是A^Tx与A^Tx的内积,恒有>=0所以AA^T半正定(对称略)再问：x是任意一个矩阵吗？再答：是任一列向量这应该是显然的,半正定的定义中有

因为n阶方阵A为正交矩阵,故A'A=E,得A^-1=A'可逆!且IA'AI=IA'IIAI=IAI^2=IEI=1.A^-1=A*/IAIA*=IAIA^-1=IAIA'故(A*)'A*=(IAIA'

A·B=E,且为n阶方阵说明AB可逆两边左乘B得BAB=BE=B然后两边右乘B^(-1)得BABB^(-1)=BB^(-1)BA=E得证满意请轻戳此处↓

由A*A=|A|E,A*=A'得A'A=|A|E.再由A不等于0,设aij≠0.则比较A'A=|A|E第j行第j列元素有a1j^2+a2j^2+...+aij^2+...+anj^2=|A|而A是实方

证明:因为A^2=A,所以A(A-E)=0所以r(A)+r(A-E)

【反证法】假设A不可逆,则|A|=0所A·A*=|A|·E=0因A*逆,等式两边右乘A*的逆,得A=A·A*·A*的逆=A·A*·A*的逆=0·A*的逆=0即有A=0进而有A*=0（根据伴随矩阵的意义

核心：线性!第一章知识链线性代数核心就这么一点内容（考研的主要部分,不是全部喔!）线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量--->向量

可参考这个:

1,2可由定理若r(A)=n,则r(A*)=n;若r(A)=n-1,则r(A*)=1;其他情况r(A*)=0获证3可由AA*=（detA)E导出,将A按可逆不可逆分类讨论下即可

|A|E=AA^T,那么|A|E的第i行第i列的元素就是A的第i行元素与A^T的第i列的元素逐个相乘之和,【逐个相乘就是A的第i行第1列的元素与A^T的第i列第1行的元素相乘,A的第i行第2列的元素与

确实缺少条件A的伴随矩阵,通常就是用A右上角*表示的.有这样的关系：若A非退化,则A*（A伴随）=det(A)*E.E为单位矩阵.从而有det(A)*det(A伴随）=det(A)^n.所以det(A

反证.若|A*|≠0则A*可逆再由AA*=|A|E=0得A=AA*(A*)^-1=0所以A*=0,这与|A*|≠0矛盾.故|A*|=0.

这个超出线性代数的范围,高等代数中一般有.证明要用λ-矩阵.A与A'的行列式因子是相同的,所以相似

就是证明AA^T是正定阵即可.因为对任意的n维列向量x,有x^T(AA^T)x=(A^Tx)^T(A^Tx)>=0,且等号成立的充要条件是A^Tx=0,而A可逆,即A^T可逆,因此等号成立的充要条件是

设B=A+A',则Bij=Aij+Aji=Bji,知B为对称矩阵另一个类似

1)r(A)=n等价于det(A)≠0等价于det(A*)=1等价于A*可逆等价于r(A*)=n2)

反证法：如果A不可逆,则存在非零列向量x使得Ax=0,于是x^TA^T=(Ax)^T=00不等于=x^T*x=x^T*I*x=x^T*(A^T+A)*x=x^TA^Tx+x^TAx=0*x+x^T*0

直接用伴随阵的定义

A的转置矩阵记为B、A的逆矩阵记为C、C的转置矩阵记为DAC=CA=E两边同时取转置DB=BD=E显然B（A的转置矩阵）的逆矩阵为D（C的转置矩阵）而C就是A的逆矩阵.