设a是n维向量,e是n阶单位矩阵,证明A=e-

E+A^T=(E+A)^T两边取行列式|E+A^T|=|(E+A)^T|=|E+A|再问：甚妙甚妙！！！非常感谢！这个题我明白了。但是这个题里面A^T=A这个式子能不能成立呢？也就是说，已知AA^T=

要用到定理r(A)+r(B)>=r(A+B)故rank{A+E}+rank{A-E}=rank{A+E}+rank{E-A}=rank{2E}}=n该定理证明如下,令a1,a2...ar为A的极大线性

直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E这说明A是正交阵.

设e1=b/|b|,可以有单位正交基：e1,e2,.,en.在这组基下,向量b的坐标为(b1,0,...,0)',向量a的坐标为(a1,.,an)',其中a1*b1=a‘b>0.H所对应的线性变换在基

因为A^2=A所以A(A-E)=0所以0=R(A(A-E))≥R(A)+R(A-E)-n故R(A)+R(A-E)≤n又R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R（A+E-A)=R(E)=n所以

证：因为A为正交矩阵,所以A^TA=E(单位矩阵)从而||Aa||=√(Aa)^T(Aa)=√a^TA^TAa=√a^Ta=||a||再问：||a||?==√a^Ta这是为什么再答：不谢，那是公式。

再答：前面点错了，呵呵，敬请谅解再答：再问：再问：这样成立？再答：是的，你利用转置的性质算一算，意外着A是对称矩阵再问：这步还是有点不懂，初学线代，忘老师再说的浅显一点再问：我懂了！谢谢老师再问：又做

AA^T=E,|A|×|A^T|=|A|^2=1,|A|=1或－1.|A|＜0,所以|A|=-1.A+E=A+AA^T=A(E+A^T)|A+E|=|A|×|E+A^T|=|A|×|A+E|=-|A+

最有问题,能有反例,比如令A=B=0就满足AB=A-B=0但A+B=0,不可逆

H^TH=(E-2aa^t)^T(E-2aa^t)=(E-2aa^t)(E-2aa^t)=E-2aa^t-2aa^t+4aa^taa^t=E-4aa^t+4a(a^ta)a^t=E-4aa^t+4aa

R(A)=n-1,首先可以确定,A的基础解系所含的解向量个数是n-（n-1）=1个那么就很简单了,找一个向量,代入AX=0可以使之成立就行了.利用题目的暗示,这个向量可能是a我们试一试代入AX=0(E

这里,先给说一个结论,很好证的就是如果x是阵C的特征值,那么E+C的特征值为1+xa'b≠0,可以知道ab'也不会为0,而r(ab')

分三步:1.因为a为n维单位列向量,所以有a'a=1(记a'=aT)2.A'A=(E-2aa')(E-2aa')=E-4aa'+4aa'aa'=E-4aa'+4aa'=E3.||AB||=√(AB)'

证明:因为A=E-2αα^T/(α^Tα)所以A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)所以AA^T=[E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)

反证法：如果B的列向量线性相关.则R(B)

AB+B=A(A+E)B=A+E-E(A+E)-(A+E)B=E(A+E)(E-B)=E所以A+E是可逆矩阵(A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)=EA-AB+E-B=A+E-BA-BAB=BA

||Px||=1,具体展开根据范数的定义再问：我只学过这个三个性质，但似乎都无法用来解这个题：⒈║x║≥0，且║x║=0x=0；⒉║cx║=│c│║x║；⒊║x+y║≤║x║+║y║。而且我这个教材上

||Aβ||²＝Aββ'A'＝﹙E-2αα'﹚ββ'﹙E-2αα'﹚＝ββ'-2ββ'αα'-2αα'ββ'+4αα'ββ'αα'注意α‘αβ’βα‘β＝β’α都是“数”﹙1行1列﹚可以和矩

结论:实反对称矩阵A的特征值只能是0或纯复数,所以-1不是A的特征值,所以0不是E+A的特征值所以A+E可逆

利用定义就可以了,对任意的非零向量xx^T(E+A^TA)x=x^Tx+(Ax)^T(Ax)>0