设a b都是n阶方阵,且AB=0,证明R(A) R(B)-搜答案-拍题作业网

AB=0|AB|=0|A|*|B|=0|A|=0或|B|=0

若AB=0,则说明B的列向量都是AX=0的解因为r(B)=n,所以AX=0至少有n个线性无关的解设解集为S,则r(S)=n-r(A)>=n即r(A)=0所以r(A)=0即A=0

n阶矩阵乘积的秩有不等式r(AB)≥r(A)+r(B)-nAB=0,即有r(AB)=0,代入即得.还有一种想法,B的列向量都是线性方程组AX=0的解.于是AX=0解空间的维数n-r(A)应该≥B的列秩

A可逆,A^(-1)ABA=BA,因此AB与BA相似

C=AB,r(C)=r(AB)

AB=0则r(A)+r(B)=1故r(A)

AB=0,则r(A)+r(B)再问：你好我想知道为什么有“A,B都是非零矩阵,所以r(A),r(B)都小于n"再答：如果r(A),r(B)有一个是N,那么另外一个不就是0了,与A,B都是非零矩阵矛盾嘛

因为AB＝0所以B的列向量都是AX=0的解.所以B的列向量组可以由AX=0的基础解系线性表示所以r(B)

(AB)>=r(A)+r(B)-n是Sylvester不等式请参考图片证明也可以这样证明:因为AB=0所以B的列向量都是Ax=0的解.所以B的列向量组可由Ax=0的基础解系线性表示所以r(A)即r(A

因为A可逆,所以A^(-1)ABA=BA所以AB与BA相似.

A+B+AB=0(I+A)(I+B)=-I即I+A可逆,逆矩阵为-(I+B).因此(I+B)(I+A)=-I即A+B+BA=0所以AB=BA

证明：由于矩阵A可逆，因此A-1存在，故A-1（AB）A=（A-1A）BA=BA，故AB与BA相似

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选B因为若|A|不等于0,则A可写成一系列初等矩阵的乘积,AB相当于对B作一系列初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,所以AB同B有相同的秩,但是,由于AB=0,所以其秩为0,而B不等于0,所以其秩至少为

由AB=A+B,有(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E.A-E与B-E互为逆矩阵,于是也有(B-E)(A-E)=E.展开即得BA=A+B=AB.

由A可逆,且AB=0等式两边左乘A^-1得A^-1AB=A^-10即B=0所以(A)正确

AB=0,则B的列向量都是Ax=0的解因为B≠0,所以Ax=0有非零解,所以|A|=0.同理.AB=AC即A(B-C)=0若能推出B=C则Ax=0只有零解,所以|A|≠0|A|≠0r(A)=nAx=0

又是没悬赏的哈AB=0说明B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解而B≠0说明Ax=0有非零解所以|A|=0,即A不可逆

我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.（1）n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.（2）证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.（3）证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们

BA＝A＋BB＝BA－AB＝（B－I）A（I＝identitymatrix）(B-I)^(-1)*B=(B-I)^(-1)*(B-I)*A(B-I)^(-1)*B=A(B-I)^(-1)*B*B=AB