在△ABC中,P在AB上,且∠1=∠B,求证AC²=AP*AB

9

画出图形：∵AB=BC=9，∠BAC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，设P距离B为x，则△AEF也是等腰直角三角形，∵AB=9，BE=BP=x，∴AE=92+x2，∴S△AEF=12（92+x2）

△ABC是等腰三角形且内角为60°所以△ABC是正三角形△ABD与△BCE中AB=BC∠ABD=∠CBD=CE∴△ABD≌△BCE（sas）∠BAD=∠CBE∴∠APE=∠BAD+∠ABD=∠CBE+

易求∠BPQ=∠ARP=∠RQC=30°∴∠RPQ=∠RQP=∠QRP=60°所以是等边三角形设AP为X则AR为2X则AB为3XX方=4根号3/27所以所求三角形面积为1/3S

∵在△ABC中,∠C=90°AB=10,AC=8,∴BC=6．∵EP⊥AB且∠A为公共角,∴△AEP∽△ABC,∴AE/AB=AP/AC=EP/BC．∵AP=x,∴AE/10=x/8=PE/6,即AE

AC=√(AB^2-BC^2)=6△ABC~△AEPPE/AP=BC/AC,PE=AP*BC/AC=x*8/6=4x/3AE/AP=AB/AC,AE=AP*AB/AC=x*10/6=5x/3BP=AB

设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO，⊙O的半径是r，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，∵PC=8-2=6，∴BC=PC；∴∠BPC=45°，∴S△APB=S△APO+S△AOB=S

过点D作DE⊥AC于E，则∠DOE+∠AOP=90°，∠DOE+∠ODE=90°，∴∠ODE=∠AOP，又∵OD=OP，∠DEO=∠OAP=90°，∴△DEO≌△OAP，∴DE=OA=CE=2，∴AP

∠bpd=60°在等边△abc中ac=bc,∠acb=∠bac=∠acd+∠bcd=60°又ad=ce所以△acd≌△cbe（边角边）所以∠acd=∠cbe∠bpd是△bcp的外角∠bpd=∠bcd+

且角BPC=角BAC,设AB与PC相交与点o△OPB∽△AOC,OP：OA=OB：OC,OP：OB=OA：OC△AOP相似△BOC,∠APC=∠ABC,∠BPC=∠BAC,∠CPA+∠APD=∠ABC

△APD与△ABC则：AP/AB=AD/ACAP/8=5/6AP=20/3.或AP/AC=AD/ABAP/6=5/8AP=15/4.AP为20/3或15/4时,△APD与△ABC相似.

因为这道题有点繁琐,所以我提供下思路吧做AO垂直BC,AB=5,BO=4,所以AO=3,OP=2,AP=根号11.

1）53度是一个边长为3、4、5的三角形2）3.14*3^2*4/3=37.68

因为,AB=AC,点P、Q分别在AB、AC上,且BC=CP=PQ=AQ所以（∠用角代替了）角B=角BPC=角C=b角APQ=角A=BCP=a角AQP=180-2*角A角QPC=180-2*（角C-角B

证明：连接PB，∵在△ABC中，AB、BC的垂直平分线EF、GH相交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴∠A=∠ABP，∠C=∠CBP，∵∠A+∠ABP+∠CBP+∠C=180°，∴∠ABC=∠ABP

证明：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，在△PBQ和△CQR中，BP＝CQ∠B＝∠CBQ＝CR，∴△BPQ≌△CQR（SAS），∴PQ=RQ，∴点Q在PR的垂直平分线上．

（1）（2）（1）等腰三角形的两条边相等，那么可根据相对的角相等来进行划分；（2）圆心P在AC上，且与AB、BC两边都相切，则P点是∠ABC的角平分线与AC的交点，以到AB的距离为半径画圆即可．

如图所示，则⊙P为所求作的圆．与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．

证：因为,∠B=∠C,BP=CQ,BQ=CR所以△BPQ≌△CQR所以PQ=QR所以AQ垂直平分PR所以点D在PR的垂直平分线上

证明：过P点作PE平行于AB则有AB平行PE平行DC然后因为角平分线得两角相等、以及平行线中得内错角相等可以得到AB=BEEC=CD所以AB+CD=BC