作业帮抽象函数单调性
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 20:25:32
解题思路： 该抽象函数的背景函数假设f(x)=a^x.
解题过程：
【【【1】】】
∵对任意实数a, b∈R, 恒有：f(a+b)=f(a)f(b).
∴取a=b=0.可得：f(0)=f(0)×f(0)
∴移项，整理可得：f(0)[f(0)-1]=0
∵由题设 f(0)≠0
∴必有f(0)-1=0
∴f(0)=1.
【【【2】】】
在题目中的条件等式中，
取a=x, b=-x. 结合f(0)=1可得：
1=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)
即恒有：f(x)·f(-x)=1.
由题设：对任意实数x＞0, 恒有f(x)＞1.
当x＜0时，-x＞0. f(-x)＞1.结合f(x)f(-x)=1可知，f(x)＞0
当x=0时， f(x)=f(0)=1
当x＞0时，显然有f(x)＞0.
综上可知，对任意实数x, 恒有：f(x)＞0.
【【3】】
由上面讨论及题设可知：
(1) 对任意实数x, 恒有:f(x)f(-x)=1.
(2) 对任意实数x＞0, 恒有：f(x)＞1
(3)对任意实数x, 恒有f(x)＞0.
假设a＞b. ===>a-b＞0. ===>f(a-b)＞1
又f(a-b)=f[a+(-b)]=f(a)f(-b)＞1
f(b)f(-b)=1. 且f(b)＞0.
∴f(a)f(-b)＞1=f(b)f(-b), f(-b)＞0
∴f(a)＞f(b).
∴在R上，函数f(x)递增。
【【【4】】】
不等式f(x)·f(2x-x²)＞1
由上面讨论f(a+b)=f(a)f(b). 及f(0)=1
可知有：f(3x-x²)＞f(0)
又该函数在R上递增。
∴必有：3x-x²＞0
∴x(x-3)＜0
∴0＜x＜3
很高兴为你解题。如有问题，请及时联系或提交讨论。
祝你进步。
最终答案：略
解题过程：
【【【1】】】
∵对任意实数a, b∈R, 恒有：f(a+b)=f(a)f(b).
∴取a=b=0.可得：f(0)=f(0)×f(0)
∴移项，整理可得：f(0)[f(0)-1]=0
∵由题设 f(0)≠0
∴必有f(0)-1=0
∴f(0)=1.
【【【2】】】
在题目中的条件等式中，
取a=x, b=-x. 结合f(0)=1可得：
1=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)
即恒有：f(x)·f(-x)=1.
由题设：对任意实数x＞0, 恒有f(x)＞1.
当x＜0时，-x＞0. f(-x)＞1.结合f(x)f(-x)=1可知，f(x)＞0
当x=0时， f(x)=f(0)=1
当x＞0时，显然有f(x)＞0.
综上可知，对任意实数x, 恒有：f(x)＞0.
【【3】】
由上面讨论及题设可知：
(1) 对任意实数x, 恒有:f(x)f(-x)=1.
(2) 对任意实数x＞0, 恒有：f(x)＞1
(3)对任意实数x, 恒有f(x)＞0.
假设a＞b. ===>a-b＞0. ===>f(a-b)＞1
又f(a-b)=f[a+(-b)]=f(a)f(-b)＞1
f(b)f(-b)=1. 且f(b)＞0.
∴f(a)f(-b)＞1=f(b)f(-b), f(-b)＞0
∴f(a)＞f(b).
∴在R上，函数f(x)递增。
【【【4】】】
不等式f(x)·f(2x-x²)＞1
由上面讨论f(a+b)=f(a)f(b). 及f(0)=1
可知有：f(3x-x²)＞f(0)
又该函数在R上递增。
∴必有：3x-x²＞0
∴x(x-3)＜0
∴0＜x＜3
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最终答案：略