已知直角三角形两边,如图,已知如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴,点B坐标为(

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 00:21:48

已知直角三角形两边,如图,已知如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴交点D,以P（1,0）为顶点的抛物线过点B,D (1)求点A的坐标（2）求抛物线的解析式 (Q为抛物线上点P至B之间的一点,连接PQ,BQ,求四边形ABQP面积的最大值)

（1）由B（3,m）可知OC=3,BC=m,又△ABC为等腰直角三角形,
∴AC=BC=m,OA=m-3,
∴点A的坐标是（3-m,0）．
（2）∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3,则点D的坐标是（0,m-3）．
又抛物线顶点为P（1,0）,且过点B、D,
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2,
得：{a(3-1)2=m a(0-1)2=m-3
解得 {a=1 m=4
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1；
（3）过点Q作QM⊥AC于点M,过点Q作QN⊥BC于点N,
设点Q的坐标是（x,x2-2x+1）,
则QM=CN=（x-1）2,MC=QN=3-x．
∵QM‖CE
∴△PQM∽△PEC
∴ QMEC=PMPC
即 (x-1)2/EC=(x-1)/2,得EC=2（x-1）
∵QN‖FC
∴△BQN∽△BFC
∴ QN/FC=BN/BC
即 3-x/FC=
(4-(x-1)2)/4,得 FC=4x+1
又∵AC=4
∴FC（AC+EC）= 4/x+1[4+2（x-1）]= 4x+1（2x+2）= 4/x+1×2×（x+1）=8
即FC（AC+EC）为定值8．