作业帮中值定理的证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 18:26:45
中值定理的证明
(1)证：假设对于任意x∈[0,1],f(x)﹤0,
那么f(x)/x﹤0,由保号性知lim(x→0)f(x)/x﹤0,矛盾,
假设对于任意x∈[0,1],f(x)﹥0,
那么f(x)/(x-1)﹤0,由保号性知lim(x→0)f(x)/x﹤0,矛盾,
∴存在ζ1,ζ2∈(0,1)使f(ζ1)﹥0,f(ζ2)﹤0,
又∵f(x)在ζ1与ζ2之间连续,
∴由零点定理知存在ζ在ζ1与ζ2之间使f(ζ)=0,
∴存在ζ∈(0,1)使f(ζ)=0.
(2)证：f(0)=f(1)=0,f′(0)=1,f′(1)=2,
设g(x)=f(x)/e^x,∴g(x)在[0,1]上可导,g(0)=g(1)=0,
∴由罗尔中值定理知存在η1∈(0,1)使g′(η1)=0,
即(f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1)/e^(2η1)=0,
∴f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1=0,
设h(x)=f′(x)·e^x-f(x)·e^x,
∴h(0)=1,h(η1)=0,h(1)=2e,h(x)在[0,1]上连续,
∴存在η2∈(η1,1)使h(η2)=1,∴h(0)=h(η2),
又∵h(x)在[0,η2]上可导,
∴由罗尔中值定理知存在η∈(0,η2)使h′(η)=0,
即f″(η)·e^η+f′(η)·e^η-f′(η)·e^η-f(η)·e^η=0,
∴f″(η)·e^η-f(η)·e^η=0,∴f″(η)=f(η),
∴存在η∈(0,1)使f″(η)=f(η).
那么f(x)/x﹤0,由保号性知lim(x→0)f(x)/x﹤0,矛盾,
假设对于任意x∈[0,1],f(x)﹥0,
那么f(x)/(x-1)﹤0,由保号性知lim(x→0)f(x)/x﹤0,矛盾,
∴存在ζ1,ζ2∈(0,1)使f(ζ1)﹥0,f(ζ2)﹤0,
又∵f(x)在ζ1与ζ2之间连续,
∴由零点定理知存在ζ在ζ1与ζ2之间使f(ζ)=0,
∴存在ζ∈(0,1)使f(ζ)=0.
(2)证：f(0)=f(1)=0,f′(0)=1,f′(1)=2,
设g(x)=f(x)/e^x,∴g(x)在[0,1]上可导,g(0)=g(1)=0,
∴由罗尔中值定理知存在η1∈(0,1)使g′(η1)=0,
即(f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1)/e^(2η1)=0,
∴f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1=0,
设h(x)=f′(x)·e^x-f(x)·e^x,
∴h(0)=1,h(η1)=0,h(1)=2e,h(x)在[0,1]上连续,
∴存在η2∈(η1,1)使h(η2)=1,∴h(0)=h(η2),
又∵h(x)在[0,η2]上可导,
∴由罗尔中值定理知存在η∈(0,η2)使h′(η)=0,
即f″(η)·e^η+f′(η)·e^η-f′(η)·e^η-f(η)·e^η=0,
∴f″(η)·e^η-f(η)·e^η=0,∴f″(η)=f(η),
∴存在η∈(0,1)使f″(η)=f(η).