怎么证明如果一个幂零矩阵A能够对角化,则A=0?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 15:11:00

怎么证明如果一个幂零矩阵A能够对角化,则A=0?
我看了证明非零的幂零矩阵不能对角化的问题但没有看懂,特别是这个问题为什么会和AX=0的基础解系搭上边?”属于A的线性无关的特征向量的个数 = n-r(A)

矩阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量.
幂零矩阵的特征值只有0
属于特征值0的特征向量是Ax=0 的非零解
自然与AX=0的基础解系有关系了
AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个解向量
所以A的属于特征值0的线性无关的特征向量有 n-r(A) 个
A≠0, 所以 r(A)>=1
所以 n-r(A) < n
所以A不能对角化
再问：那假设某一矩阵，它有一个特征向量为4，那是不是其属于4的特征向量对应的那个特征方程需要修改了？
再答：没明白你的意思呢
再问：我的意思是：您说属于特征值0的特征向量是Ax=0的非零解，那假设它有一个特征值为4，是不是Ax=0这个方程需要修改？？
再答：属于特征值4的特征向量是(A-4E)x=0 的非零解

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