怎么才能锻炼出像数学家似的思维?

怎么才能锻炼出像数学家似的思维?

数学家在他们的创造性活动中是如何思维的,他们运用了哪些最基本的思维方法,这同样是数学教育必须关心的问题.学习数学,核心是学会像数学家那样进行思维,因此,需要理清数学思维有哪些基本方法,这些方法的要领是什么,如何掌握这些方法.
数学思维的一般方法有：观察与实验,比较、分类与系统化,分析与综合,归纳、类比与联想,化归等.所谓创造性思维也往往要归结为这些思维方法.

⑴ 观察与实验

“观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息,运用思维辨认其形式、结构和数量关系,从而发现某些规律或性质的方法.”⑨ 数学思维通常都要从观察数学对象开始,结合运用其它方法才能获得关于客观事物的本质和规律的认识,因此观察法是数学思维过程的必需的和第一位的方法.就数学的基础而言,公理的确立就是首先通过观察事物的运动变化,再通过抽象概括才得以形成的.
观察侧重于探索和发现,观察的结果一般需要经过验证才能确认其成立.浙江师范大学任樟辉在他的《数学思维论》中对观察法作了比较认真的分析.他认为：“由于观察是有目的、有选择的一种认识过程,观察者必须细致地对数学对象进行搜索和思考,并根据目的需要适当地变换角度以达到解决问题的目的.对于同一个问题,由于观察者的知识、经验和能力的不同,往往对问题的认识深度就会有很大的差别.在数学教学中,注意培养敏锐的观察力是提高数学思维水平的一个重要方面.要重视观察的知识准备,也要在解题时加强观察意识这一思维环节,使它与分析等其他思维方法相结合.明确观察的目的要求,善于变换不同角度去抓住问题的特征,形成数学直感或产生直觉以解决问题.”⑩ 因此,观察法既是数学家研究数学不可缺少的方法,也是学生学好数学所必须掌握的方法.
“实验是根据所研究问题的需要,按照研究对象的自然状态和客观规律,人为地设置条件使所希望的现象产生或对其进行控制的科学方法.”⑾ 由于实验（或试验）总是和观察相联系,观察常常可用实验作基础,而实验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证.因而它是数学思维的一种间接的但却是基本的方法.在数学中,实验法可用来发现或验证许多数学对象的性质.如几何中对各种图形面积、体积的计算或公式的导出,圆锥曲线光学性质的实验等,都是实验法在数学中的具体应用.
欧拉曾明确指出,数学这门科学,需要观察,还需要实验.波利亚也一再把数学的研究方法与其它自然科学的研究方法做比较,指出它们在收集材料、进行观察与实验方面是完全类似的.

⑵ 分析与综合

分析与综合是哲学思维的方法之一,它反映客观世界中部分与整体之间的联系,是抽象思维的基本方法,也是其它许多方法的基础.
分析（analysis ,分解、划分、分开）在一般意义上讲,就是将被研究对象分解为若干部分、方面、层次和因素,并分别加以考察,从而认识事物本质的思维方法.首先,任何事物都不是单纯的、不可分的,而是有着复杂的构成.当我们面临某一研究对象时,思维无法一下子把握其问题和要害之所在,这就需要将研究对象加以分解,先认识各个部分在对象整体中的性质.其次,在分解的基础上,把事物的各个部分、方面、因素和层次放到相互联系、相互作用和发展变化中去,认识它们在整体中各占何种地位,各起何种作用,各以何种方式与其它方面发生相互制约又相互转化的关系.这样才能发现处在支配地位,起主导作用的矛盾的主要方面,才能真正抓住事物的本质.通过上述活动,可以使复杂的研究对象得以简化和明晰,并将其归结为已有的知识和可理解的东西,于是达到科学发现之目标.
分析大体上有以下几种类型：定性分析,确定对象是否具有某种性质；定量分析,确定对象属性在数量上的表现形式；因果分析,确定对象发展变化的因果关系；可逆分析,探讨因果链的逆过程是否成立；系统分析,将对象放入某系统中考察,确定对象在系统中的作用和地位.
综合（synthesis ,联合、组合、统一）是将已有的关于研究对象的各个部分、方面、因素和层次的认识联结起来,形成一个整体性认识的思维方法.首先,综合以分析的终点为起点.它在思维中表现了与分析相反的过程,但却不是关于对象的各个构成要素认识的简单相加,而是要探求各要素之间相互联系的方式.再朝着解决问题的目标,按事物内部结构关系,把关于研究对象的各个部分、方面、因素和层次的认识联结起来,形成整体的新认识.其次,这整体的新认识,已经不是停留在事物的表面特征的感性阶段,而是上升到认识事物结构原理及运动规律的理性阶段.而且由于理论的深度不同,综合的水平也不同.初步的理论综合是静态的,它探求研究对象在相对静止相对稳定状态下的整体结构.随着研究工作的深入和发展,就产生更高水平上的理论综合,这种综合是动态的,它把对象的各要素之间看成是一个多变量的关系,把这个结构整体看成是运动的和变化的,而从运动和变化中把握这个结构整体.用这样的理论认识来解释未知现象的原理和规律,就是科研活动中所提出的假说.综合的成果经过不断验证,往往会导致科学上的新发现.我们既要善于分析,又要善于综合,只有通过综合,才能为已有知识过渡到未知的新领域架起桥梁.
综合是一个极其复杂的认识活动,至今尚无公认的逻辑程序和合理化标准.但我们对此应该有一些比较基本的认识.一是综合必须与分析相结合,为了综合就必须先对被研究对象进行充分的、周密的分析,以认识对象的各个部分、各个方面的特征以及它们之间的相互联系和作用.没有科学的分析,就不可能有科学的综合.对于综合的成果,还必须用实践来检验,检验中同样离不开分析.二是综合必须创造性地形成关于对象整体的认识.综合作为对对象整体的认识,虽以分析的局部认识为基础,但绝非局部认识的拼合和累积,综合是一种非常富有创造性的思维活动,它必须以某种新观点来统一说明这些局部认识.为此,综合比分析更需要想象力.三是在认识的过程中,必须把分析和综合辩证地统一起来.人们在科学实践的基础上,就是以“分析－综合－再分析－再综合”的过程来不断加深对事物的认识的.这个过程表现了二者之间的相互依存、相互渗透和相互转化的辩证关系.没有分析也就没有综合,反之亦然.分析中有综合,综合中有分析,一方总是在自身中包含着他方.分析与综合相统一的方法,在现代科学中得到普遍的应用,人们借助于这一方法揭示事物的本质和内在联系,获得关于事物多样性统一的具体认识.
数学是思维的体操.分析与综合是重要的思维方法,大而言之,数学的一次次发展与分析、综合都有着密切的联系；小范围讲,数学教学的方法和实践也都离不开分析和综合.

⑶ 比较、分类与系统化

比较是一种用以确定客观事物相同、相似或相异的思维过程和逻辑方法.我们认识一切客观事物都离不开比较,没有比较,就没有鉴别,也就不能很好地分辨和认识事物的本质属性以及它们之间的异同和联系.
比较的过程是先对有关事物进行分析,区分每个事物各方面的特征,再将有关事物按其特征进行对比,得出哪些方面具有共同性,哪些方面又有区别,从而鉴别这些事物间的异同.同时,通过比较,还可以确定出各个事物之间的联系,因此,比较也需要通过综合,从整体上把握事物发展变化的过程.
数学中的比较是多方面的,如量的大小的比较,形式结构和关系的比较,数学性质的比较等.比较的目的是认识有关事物的区别与联系,明确相互之间存在的同一性与相似性,以便在解决问题时加以利用,促使问题转化并获得解决.
分类是以比较为基础,根据事物的某一本质属性进行的划分.这种划分可以是不同性质的划分,也可以是不同层次、不同等级的划分.分类的目的在于将事物区分为不同类别的系统,使认识系统化,促进认知结构的发展.分类应根据对象的同一属性在比较的基础上进行,不同属性的比较是没有意义的；比较和分类都必须按照同一标准进行,所取标准则要服从于研究的目的或观察问题的角度；分类时,各子项应具备互斥性,且各子项外延的和应等于母项的外延.在数学中利用分类对问题进行讨论或归纳是一种重要的逻辑方法.数学中的分类包括概念的划分,性质的归类,方法的整理以及解题中的分域讨论法等.数学的分类思想便于掌握知识的内在联系,使问题简单化、明朗化、清晰化、系统化,是数学研究和数学学习的重要思想方法.
系统化是在分类的基础上,把整体中各个部分的相关性按照某种顺序组成体系的思维方法.系统化的思维方法能够从不同侧面揭示客观事物之间及其内部的规律性,能够反映客观世界的整体性和统一性.任樟辉指出：由于“客观事物的本质具有不同的层次,因此对于同样一些事物的关系或整体中各部分的关系可以归入不同的顺序.”⑿ 由此可知,系统的表述对于某一整体而言不是唯一确定的,通常要按照思维的目的和研究的角度来决定.数学的各个分支事实上就是依据不同的研究内容和研究方法被系统化了的科学知识体系.如平面几何是以平面图形为研究对象,用公理化的逻辑演绎方法组成的体系；平面解析几何同样是以平面图形为研究对象,而用解析（代数）的方法组成的体系；复变函数论和实变函数论都是用解析的方法研究函数的科学体系,不同的是研究对象自身的性质,它们被定义在不同的数系中.
此外,在数学教学中,有意识地针对研究和学习的需要,根据不同的分类标准将有关数学材料系统化,可以使我们从不同角度更好地把握这些材料的内部联系,更好地认识它们的本质.
比较、分类、系统化,不仅是一种数学思维活动的方法,而且可以引伸到一切人类思维活动的领域中,从而使数学的育人价值得到明显的扩张.

⑷ 归纳、类比与联想

一般来讲,无论是一个成熟的数学分支,还是一个获解的数学问题,都是通过演绎展开的.但无论是考察某一数学分支的生成与发展过程,或者是分析一个问题求解的过程,我们却又发现,“演绎推理主要是在人们抓到真理之后,再补行的论证手续,因而演绎推理并不是发现和创新的重要手段.”⒀ 因此,对于寻找真理、发现真理和探索求解方案而言,更重要的是观察、实验和归纳、类比、联想等思想方法.归纳、类比、联想都属于发现法的范畴,它们在概念上有明显的区别,但在求解问题时却又紧密相关.归纳、类比、联想的相互配合和协同作战,构成了数学探索创新的主干.
归纳是由个别的特殊的事例推出同一类事物的一般性结论的思想方法,其基础是观察与实践.由于人们在实践中总是从认识个别的、特殊的事物开始的,所以其思维推理也往往是以认识一个个具体事物的属性为前提,然后逐步认识一类事物的一般属性.因此,归纳法不仅是数学研究和数学发现的重要方法,也是人类认识自然,总结生活、生产经验,处理科学实验材料的一种十分重要而又被普遍应用的思想方法.
类比是根据两个不同的对象,在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处,猜测这两个对象在其它方面也可能有类同之处,并作出判断的推理方法.和归纳推理一样,类比推理在生产、生活和科学实践中也有着广泛的应用.它同样是发明或发现真理的重要手段.传说春秋时代鲁国的公输班发明锯子,就是受到齿形草能割破人的手脚的启发.不管历史上是否确有其事,但从思维过程来讲,也确是从齿形草到公输班所设想的“锯”之间在功能和形状上的一种类比.这种仿照生物机制的类比,在近代发展成为一门新兴学科,即仿生学.例如,潜水艇的设计思想是与鱼类在水中的沉浮机制相类比而得到的,而蜜蜂的太阳偏光定向的功能,启发人们制造了航海偏光天文罗盘.诸如此类,都是近代仿生学的成果,也都是类比推理的应用.
联想是以观察为基础,针对研究的对象或问题的特点,联系已有的知识和经验进行想象的思维方法⒁. 客观事物总是相互联系的,具有各种不同的联系的事物反映在人脑中,就形成了各种不同的联想.有相似特点的事物形成类比联想,有相近关系的形成归纳联想,有相反关系的形成对比联想,有因果关系的形成因果联想等.联想往往是问题解决的先导,是发现问题和创新理论的重要手段.在数学学习中,对于探索解题途径和知识的举一反三也起着重要的作用.
联想有三个组成要素：联想因素、联想效应和联想线路.联想因素是联想的触发点,即产生联想的起因.联想效应是联想的结果,据此可以作出某种判断.联想线路是联系联想因素与联想效应的线路,它反映两者之间客观存在的相关性,通常要靠知识和想象力才能发现.

⑸ 化归

一般人从接触数学问题开始,直至在学校学习十几年,数学题也解了无其数.但问及什么是解数学题时,则难以给出比较确切的回答.数学家在回答这个问题时,结合数学思维最典型的特点,给出了一种十分巧妙的解释：解数学题就是把题归结为已经解过的题.这就是化归.一般来讲,为了谋求一个问题的解决,可以通过适当的方法,将其转化为一个已经解决或比较容易解决的问题,从而使原问题获解.当然,这种转化往往不是一次就能完成,而需要多次的再转化,直到问题解决.这种解决问题的方法就叫做化归.
化归的基本原则是：化难为易,化繁为简,化未知为已知.

随着数学的不断发展,数学的思想方法也许不可穷尽,但它始终是数学发展的灵魂.美国数学家 R·柯朗指出：“数学,作为人类智慧的一种表达形式,反映生动活泼的意念,深入细致的思考,以及完美和谐的愿望.它的基础是逻辑和直觉,分析和推理,共性和个性.”⒂ 数学思想方法正是这种人类智慧的结晶.人类也许不需要很多的数学家,但人类需要很多富有数学智慧的头脑.集中精力掌握数学的思想方法将使我们受益无穷,因为它无处不在,无时不在.我们可以依着我们丰富多彩的个性生活去选择自己的目标,我们也可以忘却那些抽象的公式和概念,但数学的思想方法将永远内化为我们自己的一部分而伴随我们终身,因为它源于数学,又高于数学.
对于数学教育而言,数学的思想方法应该成为中小学数学教学的主导性教材,从而彻底改变数学的形式化操作,让学生从过于理想化的纯数学知识的体系中走出来,象数学家所经历过的那样,运用这些思想方法去实践、去创造,让数学思维更贴近于他们自己的实际,真正成为他们自己的思维,成为他们自身需要的一部分.