是否存在常数A,B使等式:1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+……+N(N^2-N^2)=
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 10:50:58
是否存在常数A,B使等式:1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+……+N(N^2-N^2)=[N^2(N+A)(N+B)]/4对一切N属于N*都成立,用数学归纳法证明,需详细过程
记住常用求和公式
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
因1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+…+N(N^2-N^2)
=N^2(1+2+3+...+N)-(1^3+2^3+3^3+...+N^3)
=N^2*N(N+1)/2-[N(N+1)/2]^2
=[N^2(N+1)(N-1)]/4
则A=1,B=-1或A=-1,B=1
当N=1时,1(N^2-1^2)=1(1^2-1^2)=0,N^2(N+1)(N-1)]/4=1^2(1+1)(1-1)]/4=0,等式成立
假设N=k时有1(k^2-1^2)+2(k^2-2^2)+3(k^2-3^2)+…+k(k^2-k^2)=[k^2(k+1)(k-1)]/4
则当N=k+1时,
1[(k+1)^2-1^2]+2[(k+1)^2-2^2]+3[(k+1)^2-3^2]+...+k[(k+1)^2-k^2]+(k+1)[(k+1)^2-(k+1)^2]
=[1(k^2-1^2)+2(k^2-2^2)+3(k^2-3^2)+…+k(k^2-k^2)] + (2k+1)(1+2+3+...+k) (注意到(k+1)[(k+1)^2-(k+1)^2]=0)
=[k^2(k+1)(k-1)]/4+[(2k+1)(k+1)k]/2={k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)]}/4=[(k+1)^2(k+2)k]/4
因此1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+…+N(N^2-N^2)=[N^2(N+1)(N-1)]/4对一切N属于N*都成立
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
因1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+…+N(N^2-N^2)
=N^2(1+2+3+...+N)-(1^3+2^3+3^3+...+N^3)
=N^2*N(N+1)/2-[N(N+1)/2]^2
=[N^2(N+1)(N-1)]/4
则A=1,B=-1或A=-1,B=1
当N=1时,1(N^2-1^2)=1(1^2-1^2)=0,N^2(N+1)(N-1)]/4=1^2(1+1)(1-1)]/4=0,等式成立
假设N=k时有1(k^2-1^2)+2(k^2-2^2)+3(k^2-3^2)+…+k(k^2-k^2)=[k^2(k+1)(k-1)]/4
则当N=k+1时,
1[(k+1)^2-1^2]+2[(k+1)^2-2^2]+3[(k+1)^2-3^2]+...+k[(k+1)^2-k^2]+(k+1)[(k+1)^2-(k+1)^2]
=[1(k^2-1^2)+2(k^2-2^2)+3(k^2-3^2)+…+k(k^2-k^2)] + (2k+1)(1+2+3+...+k) (注意到(k+1)[(k+1)^2-(k+1)^2]=0)
=[k^2(k+1)(k-1)]/4+[(2k+1)(k+1)k]/2={k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)]}/4=[(k+1)^2(k+2)k]/4
因此1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+…+N(N^2-N^2)=[N^2(N+1)(N-1)]/4对一切N属于N*都成立
是否存在常数A,B使等式:1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+……+N(N^2-N^2)=
是否存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn
yi ge 是否存在常数a,b使等式1^2/(1*3)+2^2/(3*5)+.+n^2/(2n-1)*(2n+1)=(a
是否存在常数abc,使得等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^n=n(n+1)(an^2+bn+c)/12成立?
证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n
是否存在常数a,b,c,使等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^2=((n+n^2)/12)(bn+c+an^2
设an=1+1/2+1/3+...+1/n是否存在关于n的整式g(n),使得等式a1+a2+...+a(n-1)=g(n
是否存在常数A,B,C,使等式1*2的平方加2*3的平方一直加到N*(N加1)的平方=
是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任
设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在关于自然数N的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+.+f(n
f(n)=1+1/2+1/3+...1/n,是否存在关于自然数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+...+f(n
是否存在常数a、b,使得等式:1^2/1*3+2^2/3*5+...+n^2/(2n-1)(2n+1)=(an^2+n)