（2012•盐田区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，3）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 07:42:58

（2012•盐田区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，

（1）连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，
∵⊙P与y轴相切于点A，
∴PA⊥y轴，
∵P（2，
3），
∴OG=AP=2，PG=OA=
3，
∴PB=PC=2，
∴BG=1，
∴CG=1，BC=2．
∴OB=1，OC=3．
∴A（0，
3），B（1，0），C（3，0），
根据题意设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），
则(0−1)(0−3)a＝
3，
解得：a=

3
3．
故二次函数的解析式为：y＝

3
3x2−
4
3
3x+
3．

（2）∵点B（1，0），点P（2，
3），
∴BP的解析式为：y=
3x-
3；
则过点A平行于BP的直线解析式为：y=
3x+
3，过点C平行于BP的直线解析式为：y=
3x-3
3，
从而可得①：
3x+
3=

3
3x²-
4
3
3x+
3，
解得：x₁=0，x₂=7，
从而可得满足题意的点M的坐标为（0，
3）、（7，8
3）；
②
3x-3
3=

3
3x²-
4
3
3x+
3，
解得：x₁=3，x₂=4，
从而可得满足题意的点M的坐标为：（3，0）、（4，
3）
综上可得点M的坐标为（0，
3），（3，0），（4，
3），（7，8
3）．

（3）∵y＝

3
3x2−
4
3
3x+
3=

3
3(x2−4x+3)＝

3
3(x−2)2−

3
3，
∴抛物线的顶点Q（2，−

3
3）．
作点P关于y轴的对称点P'，则P'（-2，
3）．
连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P'Q=
8
3
3．

．