已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ac=1,求f(x,y,z)=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)d的最
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 19:56:39
已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ac=1,求f(x,y,z)=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)d的最小值.拜托了.
设a≤b≤c,令f(a,b,c)=1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)
则 f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) + 1/[(a+b) + 1/(a+b)] + a+b
那么f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+c) + 1/(b+c) - (a+b) - 1/[(a+b) + 1/(a+b)] (1)
又因为ab+bc+ca=1,所以c=(1-ab)/(a+b) (2)
把(2)代入(1)得
f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=(a+b)/(a^2+1) + (a+b)/(b^2+1) -(a+b)-(a+b)/[(a+b)^2+1]
=(a+b)[1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) -1- 1/((a+b)^2+1)]
=(a+b)[2ab-2a^2b^2-a^2b^2(a+b)^2] (全部通分可得)
=(a+b)[2ab(1-ab)-a^2b^2(a+b)^2]
=(a+b)[2ab(a+b)c-a^2b^2(a+b)^2]
因为1-ab=ac+bc=(a+b)c
=(a+b)ab(a+b)[2c-ab(a+b)]
=ab(a+b)^2[2c-ab(a+b)]
0≤a≤b≤c≤1
所以0≤a+b≤2,ab≤ac≤c(因为a≤1),从而ab≤c
所以ab(a+b)≤2c
所以2c-ab(a+b)≥0
从而f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))≥0
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))
而f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) + 1/[(a+b) + 1/(a+b)] + a+b
=[1+(a+b)^2]/(a+b) + (a+b)/[1+(a+b)^2]
[1+(a+b)^2]/(a+b)=1/(a+b) + (a+b)≥2
而f(x)=x + 1/x在[√2,+∞ )上单调递增
所以f(0,a+b,1/(a+b))=[1+(a+b)^2]/(a+b) + (a+b)/[1+(a+b)^2]≥2 + 1/2=5/2
(把上面的[1+(a+b)^2]/(a+b)当作f(x)中的x即可)
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))≥5/2
则 f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) + 1/[(a+b) + 1/(a+b)] + a+b
那么f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+c) + 1/(b+c) - (a+b) - 1/[(a+b) + 1/(a+b)] (1)
又因为ab+bc+ca=1,所以c=(1-ab)/(a+b) (2)
把(2)代入(1)得
f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=(a+b)/(a^2+1) + (a+b)/(b^2+1) -(a+b)-(a+b)/[(a+b)^2+1]
=(a+b)[1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) -1- 1/((a+b)^2+1)]
=(a+b)[2ab-2a^2b^2-a^2b^2(a+b)^2] (全部通分可得)
=(a+b)[2ab(1-ab)-a^2b^2(a+b)^2]
=(a+b)[2ab(a+b)c-a^2b^2(a+b)^2]
因为1-ab=ac+bc=(a+b)c
=(a+b)ab(a+b)[2c-ab(a+b)]
=ab(a+b)^2[2c-ab(a+b)]
0≤a≤b≤c≤1
所以0≤a+b≤2,ab≤ac≤c(因为a≤1),从而ab≤c
所以ab(a+b)≤2c
所以2c-ab(a+b)≥0
从而f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))≥0
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))
而f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) + 1/[(a+b) + 1/(a+b)] + a+b
=[1+(a+b)^2]/(a+b) + (a+b)/[1+(a+b)^2]
[1+(a+b)^2]/(a+b)=1/(a+b) + (a+b)≥2
而f(x)=x + 1/x在[√2,+∞ )上单调递增
所以f(0,a+b,1/(a+b))=[1+(a+b)^2]/(a+b) + (a+b)/[1+(a+b)^2]≥2 + 1/2=5/2
(把上面的[1+(a+b)^2]/(a+b)当作f(x)中的x即可)
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))≥5/2
已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ac=1,求f(x,y,z)=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)d的最
已知正实数a,b,c,满足a+b+c=1,求bc/a+ac/b+ab/c的最小值
均值不等式的题目a,b,c,d是非负实数满足ab+ac+ad+cd=1求证a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c
实数a,b,c满足a+2b+2c=1,求ab+ac+2bc的最大值
已知a b c是正实数 且ab+bc+ac=1求a+b+c的最小值
已知实数a、b、c满足a×a+b×b=1,b×b+c×c=2,c×c+a×a=2,则ab+bc+ac的最小值是多少?
设实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1 (1)若a+b+c=0,求ab+bc+ac的值 (2)求(a+b+c)^
已知实数a、b、c满足a²+b²+c²-ab-bc-ac=0,求a,b,c的关系(求过程)
已知三个互不相等的数a,b,c满足abc=1求(a/ab+a+1)+(b/bc+b+1)+(c/ac+c+1)的值
已知a,b,c为三个非负实数,且满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1设s=3a+b-7c,求s的最大值与最小值.
已知a,b,c均为非负实数,且满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,记S=3a+b-7c.求S的最大值和最小值
已知实数a b c 满足a+b+c=3 求证 (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)>=9(ab+bc+