如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 16:43:23

（1）求证：ME=MF．
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理
（4）根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．

证明：（1）过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴M是正方形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG
在正方形ABCD中，∠A=90°，
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠HMG=90°，
在正方形QMNP，∠EMF=90°，
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG，
∵∠MHF=∠MGE．
∴△MHF≌△MGE，
∴MF=ME．（3分）
（2）ME=MF．证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴M是菱形ABCD对角线的交点，∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠QMN=∠B，
∴∠QMN+∠BAD=180°
又∵∠MHA=∠MGA=90°，在四边形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG，
∵∠MHF=∠MGE，
∴△MHF≌△MGE，
∴ME=MF．（6分）

（3）MF=mME．
证明：过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴∠EMF=∠B=90°，
又∵∠MGA=∠MGE=90°，在四边形GMHA中，
∴∠GMH=90°，
∴∠EMG+∠GMF=∠GMF+∠HMF，
∴∠HMF=∠GME，
∵∠MGE=∠MHF，
∴△MGE∽△MHF，
∴
ME
MF=
MG
MH=
BC
AB＝
1
m，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴M是矩形ABCD对角线的中点
∴MG∥BC，
∴MG=
1
2BC．同理可得MH=
1
2CD，
∵AB=mBC，
∴MF=mME．（9分）
（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBC，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AD于F，AB交QM于E．则MF=mME．（10分）

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．如图,菱形ABCD和菱形QMNP,∠M＝∠B,M是菱形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD求证：ME＝MF 12、如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠QMN =∠ABC,M是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点,MN交A 如图,已知EF垂直于MN,且与正方形ABCD的对边分别交于E,F,M,N,求证：EF=MN. 如图在正方形ABCD 中,F为CD延长线上的一点,CE⊥AF于点E,交AD于M,求∠MFD的度如图,在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,求∠MFD的度数. 如图,在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,求∠MFD的度数.、如图,在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB的延长线上一点,MN垂直于DM,且交∠CBE的平分线于N,问DM与MN 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，CF平分∠DCE，交AD于F，则AF的长为______．已知：如图,正方形ABCD中,E是AB的中点,∠CEF=∠ECD,F在CD的延长线,EF交AD于P 如图,已知EF⊥MN,且与正方形ABCD的对边分别交于E,F,M,N.求证：EF=MN