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线性代数矩阵题证明:与对角矩阵A=diag(a1,a2……an)(其中a1,a2……an两两不相等)可交换的矩阵必定是对

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 16:21:01
线性代数矩阵题
证明:与对角矩阵A=diag(a1,a2……an)(其中a1,a2……an两两不相等)可交换的矩阵必定是对角矩阵
证:设 B=(bij),A=diag(a1,a2,...,an),i≠j时ai≠aj.
有 AB = BA.

a1b11 a1b12 ...a1b1n
a2b21 a2b22 ...a2b2n
......
anbn1 anbn2 ...anbnn
=
a1b11 a2b12 ...anb1n
a1b21 a2b22 ...anb2n
......
a1bn1 a2bn2 ...anbnn
比较AB与BA第i行第j列的元素,得
aibij = ajbij
由i≠j时ai≠aj得 bij=0.
所以 B 是对角矩阵.