如图,在平面直角坐标系xoy中,已知F1（-4,0）,F2（4,0）,A（0,8）,直线y=t（0＜t＜8）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 14:45:47

如图,在平面直角坐标系xoy中,已知F1（-4,0）,F2（4,0）,A（0,8）,直线y=t（0＜t＜8）与线段AF1、AF2分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t=3时,求以F1,F2为焦点,且过PQ中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R,记△PRF1的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F1的一个定点?若过,求出该点的坐标；若不过,请说明理由．

：（Ⅰ）设椭圆的方程为x2a2+
y2b2=1(a＞b＞0),当t=3时,PQ中点为（0,3）,所以b=3
∵a2-b2=16,∴a2=25
∴椭圆的标准方程为x225+
y29=1；
（Ⅱ）①证明：直线AF1：y=2x+8；AF2：y=-2x+8；
所以可得P（t-82,t）,Q（8-t2,t）
∵直线QR∥AF1交F1F2于点R,∴R（4-t,0）
设△PRF1的外接圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则
(4-t)2+(4-t)D+F=016-4D+F=0(
t-82)2+t2+
t-82D+tE+F=0
∴D=tE=4-
74tF=4t-16
∴圆心坐标为(-
t2,
7t8-2)
∴圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②由①可得圆C的方程为：x2+y2+tx+（4-74t）y+4t-16=0
整理可得（x2+y2+2y-16）+t（x-74y+4）=0
∴x2+y2+2y-16=0,且x-74y+4=0
联立此两方程解得x=413,y=3213或x=-4,y=0
∴圆C恒过异于点F1的一个定点,该点的坐标为（413,3213）．