作业帮实数xyz=1,求证x^2+y^2+z^2+3>=2(xy+xz+yz)
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 07:35:49
实数xyz=1,求证x^2+y^2+z^2+3>=2(xy+xz+yz)
已有证法：x²+1≥2x,y²+1≥2y,z²+1≥2z,
所以 x²+y²+z²+3≥2(x+y+z)
现只需证明x+y+z≥xy+xz+yz=(xy+xz+yz)/xyz=1/x+1/y+1/z即可
由均值不等式 (x+y+z)/3 ≥ 三次根号xyz ≥ 3(1/x+1/y+1/z)
即x+y+z≥3,1/x+1/y+1/z≤3
即 x+y+z≥1/x+1/y+1/z
原命题得证
但其中的方法,如3楼的
“只需考虑x,y,z都是正数且满足x^2+y^2+z^2
已有证法：x²+1≥2x,y²+1≥2y,z²+1≥2z,
所以 x²+y²+z²+3≥2(x+y+z)
现只需证明x+y+z≥xy+xz+yz=(xy+xz+yz)/xyz=1/x+1/y+1/z即可
由均值不等式 (x+y+z)/3 ≥ 三次根号xyz ≥ 3(1/x+1/y+1/z)
即x+y+z≥3,1/x+1/y+1/z≤3
即 x+y+z≥1/x+1/y+1/z
原命题得证
但其中的方法,如3楼的
“只需考虑x,y,z都是正数且满足x^2+y^2+z^2
答案见图片：
再问： zhourgys大神，恩，那个，“再由绝对值不等式可推得原不等式成立”，能否解释一下？
再答： 因为可先证得|x|>0,|y|>0,|z|>0时成立 x^2+y^2+z^2+3>=2(|xy|+|xz|+|yz|) 由绝对值不等式可推得|xy|+|xz|+|yz|>=xy+xz+yz
再问： zhourgys大神，恩，那个，“再由绝对值不等式可推得原不等式成立”，能否解释一下？
再答： 因为可先证得|x|>0,|y|>0,|z|>0时成立 x^2+y^2+z^2+3>=2(|xy|+|xz|+|yz|) 由绝对值不等式可推得|xy|+|xz|+|yz|>=xy+xz+yz
实数xyz=1,求证x^2+y^2+z^2+3>=2(xy+xz+yz)
已知x,y,z是实数,且xyz=1,求证x^2+y^2+z^2+3大于等于2(xy+xz+yz)
设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x
2^x=5^y=10^z(xyz不等于0）求证xy=yz+xz
设x,y,z≥0,且x+y+z=1,求证：0≤xy+yz+xz-2xyz≤7/27
已知x+y+z=3,xy+yz+xz=-1,xyz=2,求x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2
xy/x+y=1 yz/y+z=2 xz/x+z=3 求xyz/x+y+z=?
分式题:xy=x+y,yz=2(y+z),zx=3(z+x),求xyz/(xy+yz+xz)
1/x+1/y=1/2,1/y+1/z=1/3,1/x+1/z=1/6,求xyz/(xy+yz+xz)的值
已知x^3+y^3-z^3=96,xyz=4,x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz=12,则x+y-z等于
若实数xyz满足(x-2y+z)^2+4(x-y)(y-z)=0 A xy-yz=0 B xy+yz=0 C xy-xz
设x,y,z是正实数,且x+y+z=1.求证：(1)xy+yz+xz≤1/3,(2)x√y+y√z+z√x≤√3/3.