作业帮一道数学题涉（向量,三角函数恒等变换）
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 02:36:55
一道数学题涉（向量,三角函数恒等变换）
已知A,B是△ABC的两个内角,a（向）=√2cos(A+B/2）i+sin(A-B/2)j( i,j是互相垂直的单位向量）,若 a(模）=√6/2
试问tanA·tanB是否是定值,若是,求出,否则,说明.
而且恒等变换的每一步都要写出来
已知A,B是△ABC的两个内角,a（向）=√2cos(A+B/2）i+sin(A-B/2)j( i,j是互相垂直的单位向量）,若 a(模）=√6/2
试问tanA·tanB是否是定值,若是,求出,否则,说明.
而且恒等变换的每一步都要写出来
若 a(模）=√6/2
则a^2=[√2cos(A+B)/2]^2+[sin(A-B)/2]^2=3/2
即2cos²(A+B)/2+sin²(A-B)/2=3/2
1+cos(A+B)+(1/2)[1-cos(A-B)]=3/2
cos(A+B)=(1/2)cos(A-B)
2cos(A+B)=cos(A-B)
2[cosAcosB-sinAsinB]=cosAcosB+sinAsinB
cosAcosB=3sinAsinB
因A,B是△ABC的两个内角
若cosA=0或cosB=0 上式右边≠0
故cosA≠0 cosB≠0
所以两边同除以cosAcosB
3tanAtanB=1
tanAtanB=1/3
则a^2=[√2cos(A+B)/2]^2+[sin(A-B)/2]^2=3/2
即2cos²(A+B)/2+sin²(A-B)/2=3/2
1+cos(A+B)+(1/2)[1-cos(A-B)]=3/2
cos(A+B)=(1/2)cos(A-B)
2cos(A+B)=cos(A-B)
2[cosAcosB-sinAsinB]=cosAcosB+sinAsinB
cosAcosB=3sinAsinB
因A,B是△ABC的两个内角
若cosA=0或cosB=0 上式右边≠0
故cosA≠0 cosB≠0
所以两边同除以cosAcosB
3tanAtanB=1
tanAtanB=1/3