作业帮二重积分在极坐标中更换积分次序时 碰到的三角函数或反三角函数的值域或定义域问题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 18:56:24
二重积分在极坐标中更换积分次序时 碰到的三角函数或反三角函数的值域或定义域问题
一个例题：
D:-π/2≤θ≤π/2;0≤ρ≤acosθ
上面是先对ρ积分,后对θ积分
更换积分次序后先对θ积分,后对ρ积分
变为D：0≤ρ≤a;-arccos(ρ/a)≤θ≤arccos(ρ/a)
我要问的是
由acosθ=ρ得到θ=arccos(ρ/a),
那么用ρ表示θ的积分限时
-arccos(ρ/a)是怎么得到的?
一个例题：
D:-π/2≤θ≤π/2;0≤ρ≤acosθ
上面是先对ρ积分,后对θ积分
更换积分次序后先对θ积分,后对ρ积分
变为D：0≤ρ≤a;-arccos(ρ/a)≤θ≤arccos(ρ/a)
我要问的是
由acosθ=ρ得到θ=arccos(ρ/a),
那么用ρ表示θ的积分限时
-arccos(ρ/a)是怎么得到的?
确定积分限的方法：
1.若先对ρ积分,后对θ积分,则将θ看成某个常数,然后观察ρ的变化范围.从你所给的条件看,积分域是一个由ρ=acosθ围成的圆形区域,a是圆的直径.当θ固定时,ρ的变化范围是0≤ρ≤acosθ,然后θ的范围是:-π/2≤θ≤π/2.
2.若更换积分次序,即先对θ积分,后对ρ积分,则要将ρ看成一个常数来考察θ的可能范围.显然当ρ固定后,即以坐标原点为圆心,ρ为半径画一个圆.此圆会与积分域的圆形边界有两个交点.这两个交点的角度就是θ的上下限.下面一个交点的角度是-arccos(ρ/a),而上面一个焦点的角度是arccos(ρ/a),所以θ的积分限是：-arccos(ρ/a)≤θ≤arccos(ρ/a)
1.若先对ρ积分,后对θ积分,则将θ看成某个常数,然后观察ρ的变化范围.从你所给的条件看,积分域是一个由ρ=acosθ围成的圆形区域,a是圆的直径.当θ固定时,ρ的变化范围是0≤ρ≤acosθ,然后θ的范围是:-π/2≤θ≤π/2.
2.若更换积分次序,即先对θ积分,后对ρ积分,则要将ρ看成一个常数来考察θ的可能范围.显然当ρ固定后,即以坐标原点为圆心,ρ为半径画一个圆.此圆会与积分域的圆形边界有两个交点.这两个交点的角度就是θ的上下限.下面一个交点的角度是-arccos(ρ/a),而上面一个焦点的角度是arccos(ρ/a),所以θ的积分限是：-arccos(ρ/a)≤θ≤arccos(ρ/a)