作业帮1／（1+e的x次方）的平方的不定积分
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 03:21:04
1／（1+e的x次方）的平方的不定积分
令z = 1 + e^x,x = ln(z - 1),dx = dz/(z - 1)
∫ 1/(1 + e^x)² dx
= ∫ 1/z² * dz/(z - 1)
= ∫ [z² - (z² - 1)]/[z²(z - 1)] dz
= ∫ dz/(z - 1) - ∫ [(z - 1)(z + 1)]/[z²(z - 1)] dz
= ln|z - 1| - ∫ (z + 1)/z² dz
= ln|z - 1| - ∫ (1/z + 1/z²) dz
= ln|z - 1| - ln|z| + 1/z + C
= ln|e^x/(1 + e^x)| + 1/(1 + e^x) + C
= 1/(1 + e^x) - ln|1 + e^(- x)| + C
∫ 1/(1 + e^x)² dx
= ∫ 1/z² * dz/(z - 1)
= ∫ [z² - (z² - 1)]/[z²(z - 1)] dz
= ∫ dz/(z - 1) - ∫ [(z - 1)(z + 1)]/[z²(z - 1)] dz
= ln|z - 1| - ∫ (z + 1)/z² dz
= ln|z - 1| - ∫ (1/z + 1/z²) dz
= ln|z - 1| - ln|z| + 1/z + C
= ln|e^x/(1 + e^x)| + 1/(1 + e^x) + C
= 1/(1 + e^x) - ln|1 + e^(- x)| + C