作业帮欧几里得空间的维是怎么定义的?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 02:02:25
欧几里得空间的维是怎么定义的?
如果是向量还好理解；如果是函数,用积分代表内积,那么这个欧几里得空间的维数怎样定义?
如果是向量还好理解；如果是函数,用积分代表内积,那么这个欧几里得空间的维数怎样定义?
对于无限维内积空间来讲就要看需求了,可以定义代数维数和正交维数.
代数维数就是一组代数基当中元素的个数（势或者基数）,这是普通线性空间就有的,不必考虑内积,当然代数基的存在性依赖选择公理.
正交维数是正交基当中的元素个数,不过需要注意的是,按正交基展开通常不是有限线性组合,所以正交维数和代数维数是不同的,通常正交维数要小一些.当然,正交基的存在性也是有条件的,比如Hilbert空间可以保证正交基的存在性.
再给你举个例子吧,比如l^2空间,{(t,t^2,t^3,...):|t|
再问： 举个例子，傅里叶变换的基是sin（nx),cos(nx),凭什么认为其基的个数是无限的？
再答： "傅里叶变换的基是sin（nx),cos(nx)" 这句话本身就是错的，如果你不会按比较严格的方式叙述的话我多解释也白费，你至少也得说一下是什么空间，n的范围，否则我根本不知道你哪里有疑问。
再问： 那这样说吧：怎样确定一个欧几里得空间的基的完备性
再答： 你还是没有严格表述问题。那我猜一下你想问什么吧。 比如说给定了一个空间V和一组线性无关组{e_i}，你大概想问如何验证{e_i}在某种意义下确实构成了V的一组基。通俗一点讲，{e_i}里面的元素要不多不少，少了就不足以线性组合出V中的所有元素，多了就不能保证展开式的唯一性，所以验证的时候也就是验证这两点，即展开式的存在性和唯一性。
再问： 对，就是这个意思，如果是线性无关组的话线性代数里已经有了对其展开式的存在性和唯一性的证明，可是如果基是函数的话比如 cos(nx),sin(nx)，内积是积分表示，怎样证明无穷个这种基可以表示函数f（x），而不会少了其它类型的基。
再答： 通常来讲对于正交基相对容易一些，因为展开式的系数都是知道的，只要证明展开式收敛到原来的向量就行了，或者证明Parseval恒等式（也就是说Bessel不等式取到等号），不过具体的证明仍然取决于具体问题，比如L^2[0,2pi]上三角函数系作为正交基的问题就得用Fourier分析中的Parseval恒等式。
代数维数就是一组代数基当中元素的个数（势或者基数）,这是普通线性空间就有的,不必考虑内积,当然代数基的存在性依赖选择公理.
正交维数是正交基当中的元素个数,不过需要注意的是,按正交基展开通常不是有限线性组合,所以正交维数和代数维数是不同的,通常正交维数要小一些.当然,正交基的存在性也是有条件的,比如Hilbert空间可以保证正交基的存在性.
再给你举个例子吧,比如l^2空间,{(t,t^2,t^3,...):|t|
再问： 举个例子，傅里叶变换的基是sin（nx),cos(nx),凭什么认为其基的个数是无限的？
再答： "傅里叶变换的基是sin（nx),cos(nx)" 这句话本身就是错的，如果你不会按比较严格的方式叙述的话我多解释也白费，你至少也得说一下是什么空间，n的范围，否则我根本不知道你哪里有疑问。
再问： 那这样说吧：怎样确定一个欧几里得空间的基的完备性
再答： 你还是没有严格表述问题。那我猜一下你想问什么吧。 比如说给定了一个空间V和一组线性无关组{e_i}，你大概想问如何验证{e_i}在某种意义下确实构成了V的一组基。通俗一点讲，{e_i}里面的元素要不多不少，少了就不足以线性组合出V中的所有元素，多了就不能保证展开式的唯一性，所以验证的时候也就是验证这两点，即展开式的存在性和唯一性。
再问： 对，就是这个意思，如果是线性无关组的话线性代数里已经有了对其展开式的存在性和唯一性的证明，可是如果基是函数的话比如 cos(nx),sin(nx)，内积是积分表示，怎样证明无穷个这种基可以表示函数f（x），而不会少了其它类型的基。
再答： 通常来讲对于正交基相对容易一些，因为展开式的系数都是知道的，只要证明展开式收敛到原来的向量就行了，或者证明Parseval恒等式（也就是说Bessel不等式取到等号），不过具体的证明仍然取决于具体问题，比如L^2[0,2pi]上三角函数系作为正交基的问题就得用Fourier分析中的Parseval恒等式。