在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 07:29:17

在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点
现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x点M.BC边交x轴于点N.
问：但旋转角为多少时,△OMN的面积最小,并求出此时△OMN内切圆的半径

设当旋转角为a时（0小于等于a小于等于45°）,△OMN的面积最小.
此时根据图形,OM=2/COS(45°-a),所以三角形OMN底边ON上的高即M点纵坐标y=2/√2COS(45°-a）=2/(sina+cosa),ON=2/cosa,所以S△OMN=1/2*2/(sina+cosa)*2/cosa=4/(2cos²a+2sina*cosa)=4/(cos2a+sin2a+1)=4/【√2sin(2a+45°)+1】根据正弦函数的单调性,由于0小于等于a小于等于45°,所以45°小于等于2a+45小于等于135°,当2a+45=90°时,面积取得最小值s=4/(√2+1)=4(√2-1),即：a=22.5°（π/8）.此时,设△OMN内切圆的半径为r,OM=2/cos(π/8),ON=2/cos（π/8),根据三角形余弦定理得：MN²=8/cos²π/8-8/cos²π/8*cosπ/8解得MN,再根据1/2*MN*r+1/2*ON*r+1/2*MO*r=s△OMN=4(√2-1)解得r即可.