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如图10,二次函数的图象与x轴相交于点A（－3,0）、B（－1,0）,与y轴相交于点C（0,3）,

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 19:16:39

点P是该图象上的动点；一次函数y＝kx－4k （k≠0）的图象过点P交x轴于点Q

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当点P的坐标为（－4,m）时,求证：∠OPC＝∠AQC；

（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M、N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时为t秒．

①连接AN,当△AMN的面积最大时, 求t的值；

②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标；若不能,请说明你的理由．

设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1）,
∵抛物线经过点C（0,3）,
∴3=a×3×1,解得a=1．
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3．
（2）证明：在抛物线解析式y=x2+4x+3中,当x=-4时,y=3,∴P（-4,3）．
∵P（-4,3）,C（0,3）,
∴PC=4,PC∥x轴．
∵一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,
∴Q（4,0）,OQ=4．
∴PC=OQ,又∵PC∥x轴,
∴四边形POQC是平行四边形,
∴∠OPC=∠AQC．

设PQ与OC交于点E,由（2）可知,四边形POQC是平行四边形,

∴OE=CE．
∵点E到CQ的距离小于CE,
∴点E到CQ的距离小于OE,而OE⊥x轴,
∴PQ不是∠AQC的平分线,这与假设矛盾．
∴直线PQ不能垂直平分线段MN．

解析：

分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）证明四边形POQC是平行四边形,则结论得证；
（3）①求出△AMN面积的表达式,利用二次函数的性质,求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制,二次函数并不是在对称轴处取得最大值；
②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等,则直线PQ不能平分∠AQC,所以直线PQ不能垂直平分线段MN．
点评：本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大,需要注意的是（3）①问中,需要注意在自变量取值区间上求最大值,而不能机械地套用公式．

如图10,二次函数的图象与x轴相交于点A（－3,0）、B（－1,0）,与y轴相交于点C（0,3）, 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A（−94，0），且△AOB∽△BO 如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A，B，点A在原点左边，点B在原点右边，点P（1，m）（m＞0）在抛物如图,抛物线为二次函数y=x^2-2x-3的图像,它与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧）,与y轴相交于点C. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（-2，0）和点B，与y 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴相交于点C,A（-3,0）,C(0,根号3）如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴相交于点A、C,与y轴相较于B点,A（-9/4,0）,且△AOB∽△B 如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2=cx的图象相交于B（-1，5）、C（52，0）两如图,已知二次函数Y=ax²+bx+3的图像与x轴相交于点A、C,与y轴相交于点B A(-9/4,0) 且△A 如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=1x的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC. 如图，二次函数y=14x2+(m4+1)x+m（m＜4）的图象与x轴相交于点A、B两点．