设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/20 21:32:56
设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-y∈Sk.
(1)求证:这三个集合中至少有两个相等;
(2)这三个集合中是否可能有两个集合无公共元素?请说明理由
(1)求证:这三个集合中至少有两个相等;
(2)这三个集合中是否可能有两个集合无公共元素?请说明理由
(1)分两步来证:
(i) 证明:0在这三个集合中,取k为三个集合中的最小的非负数,下面证明k=0
反证:若k>0,则此时三集合中任何元素互不相等,
不妨设k∈S1,取正数b∈S2,则b-k∈S3,且b-k>0(因为k是最小正数,因此有b>k),
(注意:既然b-k是正数,所以b-k>k)
由b-k∈S3,k∈S1,则b-2k∈S2,又由于k是最小正数,则b-k>k,这样得到b-2k>0,
同理,b-3k∈S3,且b-3k>0,
b-4k∈S2,且b-4k>0
b-5k∈S3,且b-5k>0
.
这样可以无穷做下去,但由于k为正数,这显然是不可能的,因此集合中最小非负数必为0.
(ii) 不妨设0∈S1,下面证明S2=S3
很简单,任取x∈S2,由于0∈S1,则x-0∈S3,即x∈S3
任取y∈S3,由于0∈S1,则y-0∈S2,即y∈S2,这样S2=S3
也就是说,0在哪个集合中,另两个集合必相同.
(2)存在
例如,S1=S2={全体奇数},S3={全体偶数},此时条件成立.此时S1与S3无公共元素.
(i) 证明:0在这三个集合中,取k为三个集合中的最小的非负数,下面证明k=0
反证:若k>0,则此时三集合中任何元素互不相等,
不妨设k∈S1,取正数b∈S2,则b-k∈S3,且b-k>0(因为k是最小正数,因此有b>k),
(注意:既然b-k是正数,所以b-k>k)
由b-k∈S3,k∈S1,则b-2k∈S2,又由于k是最小正数,则b-k>k,这样得到b-2k>0,
同理,b-3k∈S3,且b-3k>0,
b-4k∈S2,且b-4k>0
b-5k∈S3,且b-5k>0
.
这样可以无穷做下去,但由于k为正数,这显然是不可能的,因此集合中最小非负数必为0.
(ii) 不妨设0∈S1,下面证明S2=S3
很简单,任取x∈S2,由于0∈S1,则x-0∈S3,即x∈S3
任取y∈S3,由于0∈S1,则y-0∈S2,即y∈S2,这样S2=S3
也就是说,0在哪个集合中,另两个集合必相同.
(2)存在
例如,S1=S2={全体奇数},S3={全体偶数},此时条件成立.此时S1与S3无公共元素.
设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-
S1 S2 S3 为非空集合对于1 ,2 ,3 ,的任意一个排列i ,j ,k ,若x属于S1,y属于S2,则x-y属于
集合第一节出现的题:S1、S2、S3是三个非空集合,1、2、3的任意排列是i、j、k,若x属于S1,y属于S2,有x-y
设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I则……
设直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)x+k(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为sk,则s1+s2+s3…+s20
设直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)x+k(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为Sk,求S1+S2+S3+…+S2
设U为全集,S1,S2,S3是U的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=U,则下面论断正确的是(
设直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)+k(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为Sk,则S1+S2+S3+.+S20
设I为全集,s1,s2,s3是I的三个非空子集,且s1并s2并s3=I,则下面论断正确的是,9题
(2005•安徽)设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是( )
设A,B是两个非空集合,对于任意的"x∈A,都有x∈B"是"集合A是集合B的真子集"的
1.设非空集合A={x/-2≤x≤a},B={y/y=2x+3,x∈A},C+{z=x^2,x∈A},且C是B的子集,求