作业帮问另一道线性代数有关矩阵特征值与特征向量的问题...
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 14:01:29
问另一道线性代数有关矩阵特征值与特征向量的问题...
A为一m×n矩阵,B为一n×m矩阵.设λ≠0是m阶矩阵AB的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.
A为一m×n矩阵,B为一n×m矩阵.设λ≠0是m阶矩阵AB的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.
由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx.
所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾).
这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值.
再问： 谢谢老师！过程很清楚，我都看懂了。
平时经常碰到这种用 非方阵矩阵的乘积 来出的题目，总是不知道该怎么处理（因为乘法的顺序变了，结果阶数也变）。。。请问有什么技巧吗？
再答： 这比较特殊，记住就行了
所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾).
这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值.
再问： 谢谢老师！过程很清楚，我都看懂了。
平时经常碰到这种用 非方阵矩阵的乘积 来出的题目，总是不知道该怎么处理（因为乘法的顺序变了，结果阶数也变）。。。请问有什么技巧吗？
再答： 这比较特殊，记住就行了