已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 16:05:50

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+√2=0相切设直线l与椭圆C交于M,N两点,以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求三角形AMN面积的最大值

1)y=x+b是抛物线y^2=4x的一条切线,所以(x+b)²=4x的解为一个即△=0,解得b=1e=c/a=√2/2,所以a=√2所以椭圆的方程：x²/2+y²=1(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)T(x,y)①当L不垂直X轴时,设L为：y=kx-1/3 代入x²/2+y²=1得(2k²+1)x²-4/3*kx-16/9=0所以x1+x2=(4/3*k)/(2k²+1),x1*x2=(-16/9*k)/(2k²+1)因为T在以AB为直径的圆上,所以AT⊥BT,即向量AT*向量BT=0即(x1-x)(x2-x)+(y1-y)(y2-y)=0,把y=kx-1/3代入y1,y2化简得(1+k²)x1*x2-【x+(y+1/3)*k】(x1+x2)+x²+(y+1/3)²=0,代入x1+x2和x1*x2,化简得[-16/9-4/3(y+1/3)]k²-4/3*x*k+x²+(y+1/3)²-16/9=0因为要恒过T点,所以与k无关,所以k前面的系数都为0,即-16/9-4/3(y+1/3)=0-4/3*x=0x²+(y+1/3)²-16/9,解得x=0,y=1,所以T(0,1)②当L垂直X轴时,得A(0,1),B(0,-1),此时也过T点.所以T(0,1)即所求.
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