作业帮设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y=e2x+（1+x）ex，
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 14:43:43
设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y=e2x+（1+x）ex，
试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．
试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．
由：y=e2x+（1+x）ex得：
y′=2e2x+（2+x）ex，
y″=4e2x+（3+x）ex，
将y，y′，y″代入原微分方程，整理可得：
（4+2α+β）e2x +（1+α+β）xex+（3+2α+β-γ）ex=0，①
因为：y=e2x+（1+x）ex是方程的一个特解，
所以对于任意有定义的x，①式恒成立，
所以有：
4+2α+β＝0
1+α+β＝0
3+2α+β−γ＝0．
解得：α=-3，β=2，γ=-1，
故原微分方程的具体表达式为：
y″-3y′+2y=-ex，
其对应齐次方程的特征方程为：
λ2-3λ+2=0，
求得特征值为：λ1=1，λ2=2，
对应齐次方程的通解为：
.
y=C1ex+C2e2x，
又因为：非齐次项为-ex，且λ=1为特征根，
所以：可设原微分方程的特解为 y*=Axex，
代入原微分方程可得：A=1，
所以：y*=xex，
由线性微分方程解的结构定理得原方程的通解为：
y=
.
y+y*=C1ex+C2e2x+xex．
y′=2e2x+（2+x）ex，
y″=4e2x+（3+x）ex，
将y，y′，y″代入原微分方程，整理可得：
（4+2α+β）e2x +（1+α+β）xex+（3+2α+β-γ）ex=0，①
因为：y=e2x+（1+x）ex是方程的一个特解，
所以对于任意有定义的x，①式恒成立，
所以有：
4+2α+β＝0
1+α+β＝0
3+2α+β−γ＝0．
解得：α=-3，β=2，γ=-1，
故原微分方程的具体表达式为：
y″-3y′+2y=-ex，
其对应齐次方程的特征方程为：
λ2-3λ+2=0，
求得特征值为：λ1=1，λ2=2，
对应齐次方程的通解为：
.
y=C1ex+C2e2x，
又因为：非齐次项为-ex，且λ=1为特征根，
所以：可设原微分方程的特解为 y*=Axex，
代入原微分方程可得：A=1，
所以：y*=xex，
由线性微分方程解的结构定理得原方程的通解为：
y=
.
y+y*=C1ex+C2e2x+xex．
设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y=e2x+（1+x）ex，
求微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的一个特解．
设y=ex（C1sinx+C2cosx）（C1，C2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____
求微分方程2y″+y′-y=2ex的通解．
已知函数e^2x+(x+1)e^x是二阶常系数线性非齐次微分方程y''+ay'+by=ce^x的一个特解,则该微分方程的
求微分方程y”+y=ex的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程 y''-y'-2y=x/e^x 特解猜想的试解形式是
1、求下列微分方程的通解：（1）2y‘’+y‘-y=2ex （2）2y‘’+5y‘=5x2-2x-1 （3）y‘’-6y
函数y=-ex的图象（ ）
y=x^ex,求y的导数
微分方程y'=e^x+y满足条件y(0)=0的特解为
高数二阶微分方程问题 通解：4y''-4y'=-1 一个特解：y''+y'-2y=-4x